Definition
Eine Zahlenfolge kann nach oben oder unten beschränkt sein.
Obere Beschränkung
Eine Zahlenfolge ist nach oben beschränkt, wenn es eine (reelle) Zahl gibt (sog. obere Schranke), die alle Glieder der Zahlenfolge nicht überschreiten.
Beispiel
Die Zahlenfolge $a_n = \frac{1}{n}$ ist nach oben beschränkt: für alle n aus den natürlichen Zahlen ist $a_n = 1$ (für n = 1 gleich 1, sonst darunter, z.B. $a_2 = \frac{1}{2}, a_3 = \frac{1}{3}$ usw.).
Untere Beschränkung
Eine Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, wenn es eine (reelle) Zahl gibt (untere Schranke), die alle Glieder der Zahlenfolge nicht unterschreiten.
Beispiel
Die Zahlenfolge $a_n = 5 \cdot n$ ist nach unten beschränkt: für alle n aus den natürlichen Zahlen ist $a_n >= 5$ (für n = 1 gleich 5, sonst mit 10, 15, 20, 25 usw. darüber).
Gibt es keine untere oder obere Schranke, ist die Folge nicht beschränkt.
Fazit
- Nach oben beschränkt: an ≤ S für alle n (S = obere Schranke)
- Nach unten beschränkt: an ≥ s für alle n (s = untere Schranke)
- Eine Folge kann gleichzeitig nach oben und unten beschränkt sein
- Jede konvergente Folge ist beschränkt – aber nicht jede beschränkte Folge konvergiert
Selbsttest: Beschränktheit von Folgen
Aufgabe: Beschränktheit von Folgen
Zeigen Sie, dass die Folge an = 2/n nach oben beschränkt ist, und geben Sie eine obere Schranke an.
Überlegung: Für n = 1 nimmt die Folge den größten Wert an: a1 = 2/1 = 2. Mit wachsendem n wird der Nenner größer, also wird 2/n kleiner.
Ergebnis: Es gilt 2/n ≤ 2 für alle n ≥ 1. Die Zahl 2 ist eine obere Schranke.