Krümmungsverhalten

Krümmungsverhalten Definition

Die Krümmung einer Funktion ergibt sich aus der zweiten Ableitung der Funktion.

Ist die 2. Ableitung f '' (x)

  • > 0, ist die Funktion (bzw. ihr Graph) linksgekrümmt (konvex, positiv gekrümmt), die Steigung nimmt zu;
  • < 0, ist die Funktion rechtsgekrümmt (konkav, negativ gekrümmt), die Steigung nimmt ab;
  • = 0, ist die Funktion (an der Stelle) flach, die Steigung ist konstant.

Beispiel

Die zu untersuchende Funktion sei f (x) = x2 und der Definitionsbereich umfasse die positiven ganzen Zahlen. Setzt man z.B. die Werte 1, 2, 3 und 4 ein, erhält man als Funktionswerte f (x = 1) = 12 = 1; f (x = 2) = 22 = 4; f (x = 3) = 32 = 9; f (x = 4) = 42 = 16. Die Werte der Funktion nehmen mit steigenden x stark zu, die Steigung nimmt zu (die Tangente wird steiler).

Die 1. Ableitung der Funktion ist 2x.

Die 2. Ableitung der Funktion ist 2. Diese 2. Ableitung ist für alle x positiv (unverändert, immer 2), die Funktion ist linksgekrümmt bzw. konvex.

Eine Funktion kann aber auch konvexe und konkave Abschnitte (Intervalle) haben.