Wendepunkt

Wendepunkt Definition

Der Graph einer Funktion hat da einen Wendepunkt, wo sich sein Krümmungsverhalten ändert, z.B. von einer konvexen Links- zu einer konkaven Rechtskrümmung.

Eine Funktion kann einen, mehrere oder auch keine Wendepunkte haben.

Beispiel: Wendepunkte berechnen

Die Funktion sei f(x) = x3.

Es werden nun die ersten drei Ableitungen der Funktion benötigt:

Die 1. Ableitung ist f '(x) = 3x2.

Die 2. Ableitung ist f ''(x) = 6x. Setzt man diese 2. Ableitung gleich 0 (also 6x = 0), ergibt dies x = 0.

Die 3. Ableitung f '''(x) ist 6. Dann ist auch die 3. Ableitung an der Stelle 0, also f '''(0) = 6 und damit ungleich 0; deshalb ist bei x = 0 ein Wendepunkt der Funktion und y ist dann f(0) = 03 = 0 (wäre die 3. Ableitung an der Stelle gleich 0, läge kein Wendepunkt vor).

Der Wendepunkt (xw | yw) der Funktion f(x) = x3 ist also bei (0 | 0), am Koordinatenursprung.

Die maximale Anzahl der Wendepunkte ergibt sich aus dem Grad der Funktion. Die obige Funktion ist vom Grad 3 (weil ein x3 vorkommt), es kann deshalb maximal einen Wendepunkt geben (wenn die Funktion vom Grad 3 ist, ist die 2. Ableitung vom Grad 1: das x3 "schrumpft" durch das zweimalige Ableiten zu einem x1 bzw. x mit nur einer möglichen Lösung). Eine Funktion vom Grad 4 (mit einem x4) kann maximal zwei Wendepunkte haben (oder nur einen oder gar keinen).

Alternative Begriffe: Krümmungsstelle, Wendestelle.