Lineare Interpolation

Lineare Interpolation Definition

Der Ausgangspunkt für eine lineare Interpolation ist z.B.: man hat 2 Daten- bzw. Messwerte und möchte wissen, "was dazwischen passiert".

Bei der linearen Interpolation – es gibt noch andere wie z.B. die quadratische Interpolation – sucht man eine lineare Funktion bzw. Gerade, die durch die Datenpunkte verläuft.

Beispiel

Ein Eisstand verkauft an einem sonnigen Nachmittag von 14 bis 15 Uhr 10 Kugeln Eis zu einem Preis von 1 € je Kugel. Anschließend erhöht er im Zeitraum 15 bis 16 Uhr den Preis auf 2 € und verkauft nur noch 4 Kugeln (wir nehmen an, das liegt nur am Preis und nicht an der späteren Stunde).

Als Datenpaare A und B jeweils mit Koordinaten x für den Preis und y für die verkaufte Menge (zum Eintragen in ein Koordinatensystem):

A : (1, 10) mit x1 = 1 und y1 = 10.

B: (2, 4) mit x2 = 2 und y2 = 4.

Ein Gerade g(x), die durch die beiden Punkte A und B geht, kann mit folgender Formel berechnet werden:

$$g(x) = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)$$

$$g(x) = 10 + \frac{4 - 10}{2 - 1} \cdot (x - 1)$$

$$g(x) = 16 - 6 \cdot x$$

Es handelt sich also um eine Gerade mit y-Achsenabschnitt 16 und einer (negativen) Steigung von -6.

Der Eisverkäufer kann sich dann überlegen, wieviel er wohl bei einem Preis von 1,50 € verkaufen wird:

g(1,50) = 16 - 6 × 1,50 = 16 - 9 = 6 Kugeln.

Es wird ein linearer Zusammenhang unterstellt – das kann auch eine fehlerhafte Annahme sein.