Punktprobe: Liegt ein Punkt auf einer Geraden?

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Definition

Eine Punktprobe beantwortet rechnerisch (nicht zeichnerisch) die Frage: Liegt ein bestimmter Punkt auf einer Geraden?

Daneben gibt es auch Punktproben für Ebenen und Vektoren.

Eine Gerade sei durch die Funktion f(x) = 2x + 2 bestimmt.

Liegt der Punkt P (1, 4) mit der x-Koordinate = 1 und der y-Koordinate (bzw. dem Funktionswert an der Stelle 1) = 4 auf der Geraden?

Um das zu prüfen, setzt man den y-Wert von 4 für f(x) ein und den x-Wert von 1 für x:

$4 = 2 \cdot 1 + 2$

4 = 2 + 2

4 = 4

Wenn die Aussage so wie hier stimmt (4 = 4), ist die Punktprobe erfolgreich: der Punkt P (1, 4) liegt auf der durch f(x) = 2x + 2 bestimmten Geraden.

Zeichnet man die Gerade und den Punkt, sieht man, dass der Punkt auf der Geraden liegt.

Gerade f(x) = 2x + 2 mit Punkt P(1|4) auf der Geraden — Punktprobe erfolgreich

Punktprobe: x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und Ergebnis mit y vergleichen
Stimmt f(x) = y → Punkt liegt auf der Geraden; stimmt es nicht → Punkt liegt nicht darauf
Rechnerische (nicht zeichnerische) Methode
Gilt analog für Ebenen und Vektoren

Was beantwortet die Punktprobe?

Die Steigung einer Geraden an einem Punkt

Ob ein bestimmter Punkt auf einer Geraden liegt

Den Abstand eines Punktes zur Geraden

Die Nullstelle einer Geraden

Wie geht man bei der Punktprobe vor?

Grafisch die Gerade zeichnen und ablesen

Die Ableitung der Funktion berechnen

Den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

x-Wert einsetzen und Ergebnis mit dem gegebenen y-Wert vergleichen

f(x) = 3x + 1. Liegt Punkt P(2|7) auf der Geraden?

Ja, denn f(2) = 6 + 1 = 7

Nein, denn f(2) = 5

Nein, denn f(2) = 9

Ja, denn f(2) = 8

f(x) = 5x − 2. Liegt P(3|12) auf der Geraden?

Ja, denn f(3) = 12

Ja, denn f(3) = 10

Nein, denn f(3) = 13 ≠ 12

Nein, denn f(3) = 7

Nochmal versuchen

Gegeben f(x) = 4x − 3. Liegt der Punkt P(5|17) auf der Geraden?

Lösung anzeigen

Einsetzen: f(5) = 4 · 5 − 3 = 20 − 3 = 17

Ergebnis: 17 = 17 → Punktprobe erfolgreich: P(5|17) liegt auf der Geraden.

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