Quadratische Funktion

Quadratische Funktion Definition

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form:

$$f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$$

Dabei darf a nicht 0 sein (sonst würde der quadratische Term verschwinden und es wäre eine lineare Funktion).

Der Funktionsgraph ist eine Parabel; diese kann

  • nach oben geöffnet sein (sieht aus, wie die Umrisse bzw. Ränder der unteren Hälfte von einem nur hälftig gezeichneten Ei; wenn der Faktor a > 0 ist) oder
  • nach unten (sieht aus, wie die Umrisse der oberen Hälfte von einem nur hälftig gezeichneten Ei; wenn der Faktor a < 0 ist).

Der höchste Punkt (falls nach unten geöffnet) bzw. tiefste Punkt (falls nach oben geöffnet) heißt Scheitelpunkt; eine senkrechte Linie durch diesen Scheitelpunkt ist die Symmetrieachse der Parabel.

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, wird diese gleich 0 gesetzt und dann wird die daraus entstandene quadratische Gleichung z.B. mit der p-q-Formel oder der abc-Formel oder der Scheitelpunktform gelöst. Grafisch sind die Nullstellen die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Alternative Begriffe: Ganzrationale Funktion zweiten Grades, Quadratische Funktionsgleichung.

Beispiel

Beispiel: Quadratische Kostenfunktion

Ein Schreiner stellt quadratische Tische im Kundenauftrag her; die Kosten für die Tischplatte aus Holz hängen von der Größe ab, 1 Quadratmeter Holz kostet 50 €.

Die Fertigungskosten hängen von der Länge (bzw. Breite) des Tisches ab, pro Meter 100 €.

Als Fixkosten für die Planung des Tisches werden pauschal 100 € veranschlagt (unabhängig von der Tischgröße).

Die (quadratische) Kostenfunktion ist dann:

$$f(x) = 50 \cdot x^2 + 100 \cdot x + 100$$

Dabei ist x die Länge / Breite des Tisches in Meter. Ein Tisch mit 2 Meter Länge würde dann kosten:

$$f(2) = 50 \cdot 2^2 + 100 \cdot 2 + 100 = 200 + 200 + 100 = 500.$$

Ein Tisch mit 3 Meter Länge würde kosten:

$$f(3) = 50 \cdot 3^2 + 100 \cdot 3 + 100 = 450 + 300 + 100 = 850.$$

Symmetrieachse und Scheitelpunkt der Parabel

Wenn man von der allgemeinen Form der Funktion ($f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$) ausgeht, ist die Symmetrieachse der Parabel bei $x=-\frac{b}{2a}$, im Beispiel bei $x=-\frac{100}{2 \cdot 50} = -1$.

Berechnet man den Funktionswert an der Stelle -1, erhält man $f(-1) = 50 \cdot (-1)^2 + 100 \cdot (-1) + 100 = 50 - 100 + 100 = 50$. Der Scheitelpunkt liegt bei (-1, 50) im Koordinatensystem (x = -1, und y = 50).

Das Ergebnis ist hier nicht sinnvoll interpretierbar, da nicht Tische mit -1 qm Länge / Breite produziert werden können. Die Funktion ist faktisch nur für einen Definitionsbereich mit positiven Zahlen anwendbar. Im allgemeinen wäre der Scheitelpunkt bei einer nach oben geöffneten Parabel das Minimum der Funktion.

Alternative: Scheitelpunkt mit 1. Ableitung berechnen

Wenn man die 1. Ableitung der Funktion gleich Null setzt, erhält man die x-Koordinate des Scheitelpunkts:

1. Ableitung f '(x) bilden: f '(x) = 100x + 100

Gleich 0 setzen: 100x + 100 = 0

Daraus folgt: x = -1. Das ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts.

x-Wert -1 in die Funktion f(x) einsetzen und damit die y-Koordinate berechnen: $f(-1) = 50 \cdot (-1)^2 + 100 \cdot (-1) + 100 = 50 - 100 + 100 = 50$

Der Scheitelpunkt ist (-1, 50).