Lineare Transformation

Lineare Transformation Definition

Mit der linearen Transformation kann eine Variable X (z. B. ein Merkmalswert oder eine Zufallsvariable) in eine andere Variable Y überführt werden.

Die Transformationsvorschrift lautet allgemein: Y = a + b × X.

In Worten: die Daten (X) werden mit einem positiven Faktor (b) multipliziert und es wird ein Term (a) hinzuaddiert (wobei dieser Term a auch 0 sein kann, so dass in dem Fall nur mit einem Faktor multipliziert wird; ebenso kann b auch 1 sein, so dass effektiv keine Faktor-Multiplikation stattfindet).

Beispiel

Für die Temperaturmessung werden Grad Fahrenheit mit folgender Formel in Grad Celsius umgewandelt: Grad Celsius = (Grad Fahrenheit - 32) / 1,8.

In die Form der obigen allgemeinen Transformationsvorschrift gebracht:

Y (Grad Celsius) = -32/1,8 + (1/1,8) × X (Grad Fahrenheit).

Z. B. Umrechnung von 50 Grad Fahrenheit: Y = - 32/1,8 + (1/1,8) × 50 = 10 Grad Celsius.

Die lineare Transformation kann auf Intervallskalen angewandt werden.

Die Lineartransformation führt dazu, dass die Rangfolge und die relativen Abstände beibehalten werden.

Wenn man die Umrechnung noch für z. B. 100 Grad Fahrenheit und 200 Grad Fahrenheit macht, kommt man auf gerundet 37,8 Grad Celsius und 93,3 Grad Celsius.

Die Rangfolge der Temperaturen von kalt zu heiß ist in Fahrenheit (50 – 100 – 200), und Celsius (10 – 37,8 – 93,3) gleich (das können natürlich keine Außentemperaturen auf der Erde sein ...).

Und man kann sagen, dass die Differenz zwischen 200 und 100 Grad Fahrenheit größer ist als die zwischen 100 und 50 Grad Fahrenheit und das gilt analog für die Celsius-Daten: die Differenz zwischen 93,3 und 37,8 Grad Celsius ist größer als die zwischen 37,8 und 10 Grad Celsius.

Die Form der Verteilung der Daten sieht auch nach einer linearen Transformation gleich aus: eine Glockenkurve bleibt eine Glockenkurve, ein abfallendes Gebirge bleibt ein abfallendes Gebirge usw.

Alternative Begriffe: Lineartransformation, Positive lineare Transformation.