Vektorprodukt

Vektorprodukt Definition

Das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt entsteht, indem 2 Vektoren multipliziert werden und das Ergebnis wiederum ein Vektor ist bzw. sein soll (und nicht eine Zahl wie beim Skalarprodukt).

Das Vektorprodukt ist nur sinnvoll mit 3er-Vektoren bzw. im dreidimensionalen Raum.

Hat man z.B. die 2 Vektoren $$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$$ und $$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$, berechnet sich das Vektorprodukt aus a und b so:

$$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$$

Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) zu den beiden multiplizierten Vektoren ist (Normalenvektor).

Alternative Begriffe: äußeres Produkt, vektorielles Produkt.

Beispiel

Beispiel: Vektorprodukt berechnen

Man stelle sich die vordere Seite eines Würfels mit 2 cm Kantenlänge in einem dreidimensionalen Koordinatensystem vor: nach hinten geht die x-Achse, nach rechts die y-Achse und nach oben die z-Achse.

Mit dem Vektor a = (0, 2, 0) kann dann die untere vordere Würfelkante beschrieben werden, mit b = (0, 0, 2) die linke vordere Würfelkante.

Nun berechnet man das Kreuzprodukt:

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Der Ergebnisvektor bzw. Normalenvektor (4, 0, 0) – wir nennen ihn c – steht senkrecht auf den beiden Vektoren a und b (bzw. auf der durch diese aufgespannten Würfel-Ebene).

Der Betrag des Ergebnisvektors entspricht der Fläche der durch a und b aufgespannten vorderen Würfelfläche (2 cm × 2 cm = 4 cm2):

$$\vert c \vert = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0 + 0} = \sqrt{16} = 4 \, cm$$

Der Ergebnisvektor geht also nach hinten in den Raum (x-Achse) und ragt mit seiner Länge von 4 cm um 2 cm aus dem Würfel hinaus.