Definition
Bei der Skalarmultiplikation wird ein Vektor mit einer Zahl (einem Skalar in der Vektorsprache) multipliziert; das Ergebnis ist wiederum ein Vektor.
Nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt, bei dem beispielsweise 2 Vektoren multipliziert werden und das Ergebnis ist eine reelle Zahl (Skalar), kein Vektor.
Alternative Begriffe: S-Multiplikation, Skalar mal Vektor, Skalare Multiplikation, Vektor mal Skalar, Vektor mal Zahl.
Beispiel
Beispiel: Skalarmultiplikation
Im Vektor-Beispiel brauchte man für die Produktion eines Autos ein Lenkrad und 4 Reifen und dies ließ sich als Vektor darstellen:
$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Nun benötigen wir 5 Autos, und die Skalarmultiplikation stellt das dar:
$$5 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \cdot 1 \\ 5 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 20 \end{pmatrix}$$
Die beiden Elemente des Vektors (1 und 4) werden also jeweils mit dem Skalar multipliziert.
Das Ergebnis zeigt, dass für 5 Autos 5 Lenkräder und 20 Reifen benötigt werden.
Der Vektor $\begin{pmatrix}5 \\ 20 \end{pmatrix}$ ist ein Vielfaches (5-faches) des Vektors $\begin{pmatrix}1 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Man sagt dann auch, die Vektoren sind parallel zueinander.
Auswirkung auf Länge des Vektors
Durch die Skalarmultiplikation verlängert oder verkürzt sich die Länge des Vektors:
- Skalar > 1: Vektor verlängert sich (zum Beispiel Faktor 2, Länge verdoppelt sich);
- Skalar > 0 und < 1: Vektor verkürzt sich (zum Beispiel Faktor 0,5, Länge halbiert sich).
Auswirkung auf Richtung des Vektors
Der Vektor kann auch mit einem negativen Skalar (einer negativen Zahl) multipliziert werden, der Vektor ändert dann seine Richtung:
$$-5 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \cdot 1 \\ -5 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ -20 \end{pmatrix}$$
Sachlich macht das hier keinen Sinn (negative Anzahl von Lenkrädern und Reifen).
Skalarmultiplikation mit 0
Ist der Skalar bzw. Faktor 0, ist das Ergebnis der Skalarmultiplikation der Nullvektor (in der jeweiligen Dimension, hier: zweidimensional):
$$0 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Fazit
- Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente eines Vektors einzeln mit dem Skalar k multipliziert; das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
- k > 1: Vektor verlängert sich; 0 < k < 1: Vektor verkürzt sich; k < 0: zusätzlich Richtungsumkehr.
- k = 0 führt zum Nullvektor; k = 1 lässt den Vektor unverändert.
- Nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt (Ergebnis: eine Zahl), bei dem zwei Vektoren miteinander multipliziert werden.
Selbsttest: Skalarmultiplikation
Aufgabe: Skalarmultiplikation berechnen
Gegeben sind a = (2, −3) und k = 5.
a) Berechnen Sie k · a.
b) Berechnen Sie (−k) · a.
c) Vergleichen Sie Länge und Richtung beider Ergebnisse.
a) $$5 \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\-15\end{pmatrix}$$
b) $$(-5) \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10\\15\end{pmatrix}$$
c) Vergleich:
Länge: |5a| = |−5a| = 5 · √(4+9) = 5√13 – identisch.
Richtung: (−10, 15) = −(10, −15) – entgegengesetzt. ✓