Mittelwertsatz

Mittelwertsatz Definition

Ausgangspunkt für den Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Eine Funktion f sei in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig (abgeschlossenes Intervall heißt: die Intervallgrenzen a und b gehören dazu) und im offenen Intervall ]a, b[ (d.h. ohne die Intervallgrenzen a und b) differenzierbar.

Dann gibt es mindestens einen x-Wert x*, für den gilt:

$$f'(x^*) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Die linke Seite der Gleichung ist die 1. Ableitung der Funktion f an der Stelle x*, das ist die Tangentensteigung.

Die rechte Seite der Gleichung ist die Sekantensteigung der Funktion f, d.h. die Steigung einer Geraden durch die Punkte a und b, die den Funktionsgraph schneidet.

D.h.: Es gibt mindestens einen Punkt, an dem die Tangente parallel zur Sekante verläuft (parallel, da beide dieselbe Steigung haben).