Satz von Rolle

Satz von Rolle Definition

Der Ausgangspunkt für den Satz von Rolle ist (wie beim Mittelwertsatz): Eine Funktion f sei in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] – einschließlich der Intervallgrenzen a und b – stetig und im offenen Intervall ]a, b[ – d.h. ohne die Intervallgrenzen a und b – differenzierbar.

Ist dann f(a) = f(b), d.h. entspricht der Funktionswert an der Stelle a dem Funktionswert an der Stelle b (die Funktionswerte der beiden Intervallgrenzen liegen auf gleicher Höhe, die Sekante durch die Punkte ist waagrecht), gibt es mindestens einen x-Wert x* in dem offenen Intervall, für den gilt:

f'(x*) = 0.

D.h., es gibt (mindestens) eine Stelle, an der die 1. Ableitung der Funktion f und damit die Steigung der Funktion gleich o ist (die Tangente ist waagrecht). Das kann ein Minimum oder eine Maximum sein.

Man kann sich den (gezeichneten) Umriss eines Hügels vorstellen, der Hügel beginnt bei a und endet bei b. Dazwischen liegt ein Maximum (des Hügels).

Oder: Man stellt sich den (gezeichneten) Umriss einer Grube im Boden vor, die bei a beginnt und bei b endet. Dazwischen liegt ein Minimum (der Grube).