Partialbruchzerlegung

Beispiel Partialbruchzerlegung

Es soll das Beispiel zur gebrochen-rationalen Funktion aufgegriffen werden:

$$f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 - 4}$$

Das ist ein Quotient aus 2 Polynomfunktionen: das Zählerpolynom $2x + 4$ und das Nennerpolynom $x^2 - 4$. Der Grad des Zählerpolynoms ist 1 (nur ein x bzw. x¹), der Grad des Nennerpolynoms ist 2 (wegen des x² mit dem Exponenten 2).

Ist wie im Beispiel Zählergrad < Nennergrad, liegt eine echt gebrochen-rationale Funktion vor und die Partialbruchzerlegung geht kürzer / einfacher als in anderen Fällen.

Zunächst ermittelt man die Nullstellen des Nennerpolynoms. Im Beispiel sieht man sofort, dass es 2 Nullstellen gibt: x = -2 und x = 2 (in anderen Fällen muss man diese berechnen, zum Beispiel mit der p-q-Formel).

Anschließend wird mit den Nullstellen faktorisiert (die Differenz im Nenner wird durch ein Produkt ersetzt):

$$f(x) = \frac{2x + 4}{(x - 2) \cdot (x + 2)}$$

Dann wird eine Gleichung aufgestellt mit 2 Koeffizienten a und b (analog der Anzahl der Nullstellen):

$$f(x) = \frac{2x + 4}{(x - 2) \cdot (x + 2)} = \frac{a}{(x - 2)} + \frac{b}{(x + 2)}$$

Wenn man jetzt beide Seiten mit dem Nenner der linken Seite multipliziert ergibt sich:

$$2x + 4 = a \cdot (x + 2) + b \cdot (x - 2)$$

Und mit ein paar Umformungen:

$$2x + 4 = (a + b) \cdot x + 2a - 2 b$$

Wenn man nun die Koeffizienten der beiden Seiten vergleicht, sieht man, dass:

$$2 = a + b$$

$$4 = 2a -2b$$

Das sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten; aufgelöst ergibt dies a = 2 und b = 0.

Die Partialbruchzerlegung ist dann:

$$\frac{2x + 4}{x^2 - 4} = \frac{2}{(x - 2)} + \frac{0}{(x + 2)} = \frac{2}{(x - 2)}$$

Setzt man beliebige Zahlen für x ein (zum Beispiel x = 5), sieht man, dass das stimmt:

$$\frac{2 \cdot 5 + 4}{5^2 - 4} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{2}{(5 - 2)} = \frac{2}{3}$$