Monotonieverhalten

Monotonieverhalten Definition

Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt, ob bzw. in welchen Bereichen die untersuchte Funktion steigt oder fällt.

Die Funktion kann

  • streng monoton steigen: für steigende (in die Funktion eingesetzte) x-Werte steigen die Funktionswerte / y-Werte ebenfalls; einfaches Beispiel: f (x) = 2x ("Verdopplungsfunktion"); für positive x steigen die y-Werte: für x = 1 ist y = 2, für x = 2 ist y = 4 u.s.w. Gezeichnet ergibt das eine aufsteigende Gerade. Das "streng" lässt man weg, wenn es auch konstante Phasen gibt; Eine hochlaufende Rampe wäre streng monoton steigend, eine Treppe nur monoton steigend;
  • streng monoton fallen: für steigende x-Werte fallen die y-Werte; die Funktion f (x) = -2x wäre z.B. für positive x streng monoton fallend: für x = 1 wäre y = -2, für x = 2 wäre y = -4 u.s.w.; gibt es wiederum konstante Phasen, entfällt das "streng";
  • konstant bleiben, z.B. f (x) = 2. Für alle x ist der Funktionswert konstant 2.

Monotoniekriterium

Ist die erste Ableitung f '(x) einer (stetigen) Funktion > 0, ist die Funktion (in dem jeweiligen Bereich) streng monoton steigend.

Die 1. Ableitung der Funktion f(x) = 2x ist f '(x) = 2. D.h., die 1. Ableitung ist immer 2 und damit immer positiv, egal welche x-Werte man einsetzt. Die Funktion ist streng monoton steigend.

Ist die erste Ableitung f '(x) einer (stetigen) Funktion < 0 (also negativ), ist die Funktion (in dem jeweiligen Bereich) streng monoton fallend.

Die 1. Ableitung der Funktion f(x) = -2x ist f '(x) = -2. D.h., die 1. Ableitung ist immer -2 und damit immer negativ. Die Funktion ist streng monoton fallend.

Für <= statt < oder >= statt > entfällt das "streng".

Alternative Begriffe: Monotonie.

Monotonie Beispiel

Beispiel: Funktion auf Monotonie untersuchen

Die Funktion sei:

$$f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^4 + 8 \cdot x$$

Die 1. Ableitung bilden:

$$f'(x) = x^3 + 8$$

Für einen x-Wert von z.B. -3 wäre die 1. Ableitung $f'(-3) = (-3)^3 + 8 = -19$ und damit negativ.

Für einen x-Wert von z.B. 3 wäre die 1. Ableitung $f'(3) = (3)^3 + 8 = 35$ und damit positiv.

Um die monoton steigenden und fallenden Bereiche abzugrenzen, wird die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt:

$$x^3 + 8 = 0$$

$$x^3 = -8$$

$$x = -2$$

Für x < -2 ist f'(x) < 0, d.h. die Funktion ist streng monoton fallend.

Für x > -2 ist f'(x) > 0, d.h. die Funktion ist streng monoton steigend.

Das kann man im Funktionsgraphen gut sehen:

Monotonieverhalten