Polynomdivision

Polynomdivision Definition

Polynomdivision bedeutet: ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt.

Mit der Polynomdivision können z.B. Nullstellen von Polynomen berechnet werden; allerdings benötigt man dafür eine bekannte Nullstelle (raten, ausprobieren, als Angabe ...).

Beispiel

Das Polynom 3. Grades sei: $x^3 - 3x^2 + 2x$.

Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die 2 $(2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0)$.

Wir teilen das gegebene Polynom durch das Polynom (x - Nullstelle), also (x - 2); dabei ist das erste Polynom der Dividend, das zweite der Divisor.

$$(x^3 - 3x^2 + 2x) : (x - 2)$$

Berechnung:

$$\begin{array}{rrrll} x^3 & -3x^2 & +2x & :(x - 2) & = x^2 - x\\ -(x^3 & -2x^2) & & & \\ \hline & -x^2 & +2x \\ & -(-x^2 & +2x) & & & & \\ \hline & 0 & 0 \end{array}$$

Zunächst wird die höchste Potenz des Dividenden (also x3) durch die höchste Potenz des Divisors (also x) geteilt; das ergibt x3 : x = x2; das ist der erste Teil der Lösung und wird rechts nach dem = geschrieben.

Das x2 wird mit dem Divisior (x - 2) multipliziert: $x^2 \cdot (x - 2) = x^3 - 2x^2$; dieser Term wird abgezogen und es wird der nächste Polynombestandteil (+2x) von oben in das Berechnungsschema gezogen.

Nun wird wieder die höchste verbliebene Potenz des Dividenden (also -x2) durch die höchste Potenz des Divisors (also x) geteilt; das ergibt -x; das ist der zweite Teil der Lösung und wird rechts hinzugefügt.

Das -x wird mit dem Divisior (x - 2) multipliziert: $-x \cdot (x - 2) = -x^2 + 2x$; dieser Term wird wieder abgezogen; es verbleibt kein Restterm mehr, deshalb ist die Polynomdivision abgeschlossen und das Ergebnis ist $x^2 - x$.

Damit können jetzt leicht weitere Nullstellen ermittelt werden. Wenn man x ausklammert, erhält man x × (x - 1) und man sieht sofort (Satz vom Nullprodukt), dass 0 eine weitere Nullstelle ist und 1.

Kontrolle für die 3 Nullstellen:

Nullstelle 0: $0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 = 0 - 0 + 0 = 0$

Nullstelle 1: $1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 - 3 + 2 = 0$

Nullstelle 2: $2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0$