Satz vom Nullprodukt

Beispiele: Satz vom Nullprodukt

Beispiel 1

Eine Gleichung lautet:

$$x \cdot (x - 2) = 0$$

Das Produkt $x \cdot (x - 2)$ ist 0, wenn der erste Faktor x = 0 ist oder der zweite Faktor (x - 2) und dieser ist dann 0, wenn x = 2 ist.

Die beiden Nullstellen der obigen Gleichung sind also x = 0 und x = 2:

$$0 \cdot (0 - 2) = 0 \cdot (-2) = 0$$

$$2 \cdot (2 - 2) = 2 \cdot 0 = 0$$

Mit dem Satz vom Nullprodukt sieht man die Lösung oft sofort (ohne bewusst zu rechnen).

Das ist aber meist der letzte Schritt, vorher muss man ein Produkt erst durch Ausklammern oder Faktorisieren herstellen.

Zum Beispiel könnte die Beispielgleichung ursprünglich $x^2 - 2 \cdot x = 0$ lauten und erst durch das Ausklammern von x erhält man das Produkt $x \cdot (x - 2)$ auf der linken Seite der Gleichung, für das man dann den Nullproduktsatz anwenden kann.

Beispiel 2

Eine Gleichung lautet:

$$x^3 + x^2 - 6x = 0$$

Ausklammern von x:

$$x \cdot (x^2 + x - 6) = 0$$

Jetzt haben wir ein Produkt mit 2 Faktoren: die Gleichung stimmt, wenn der erste Faktor x gleich 0 ist oder der zweite Faktor $x^2 + x - 6$.

Den zweiten Term $x^2 + x - 6 = 0 $ kann man mit der pq-Formel lösen (siehe das Beispiel dort, die Lösungen waren 2 und -3).

Kontrolle:

$$0^3 + 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$$

$$2^3 + 2^2 - 6 \cdot 2 = 8 + 4 - 12 = 0$$

$$(-3)^3 + (-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -27 + 9 + 18 = 0$$

Fazit

Der Satz vom Nullprodukt – bzw. der Gedanke an eine mögliche Anwendung – hilft dabei, auf den ersten Blick undurchsichtige und unhandliche Terme zu vereinfachen, um damit Gleichungen lösen zu können.

Erster Schritt: den Term in ein Produkt verwandeln.

Zweiter Schritt: jeden Faktor des Produkts einzeln daraufhin untersuchen, wann er Null wird.