Satz vom Nullprodukt

Satz vom Nullprodukt Definition

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn (mindestens) einer der Faktoren 0 ist.

Wenn also $a \cdot b = 0$ ist, muss entweder a = 0 sein, oder b = 0 oder beide gleich 0.

Das hilft, z.B. um Nullstellen zu finden.

Beispiel

Eine Gleichung lautet:

$$x \cdot (x - 2) = 0$$

Das Produkt $x \cdot (x - 2)$ ist 0, wenn der erste Faktor x = 0 ist oder der zweite Faktor (x - 2) und dieser ist dann 0, wenn x = 2 ist.

Die beiden Nullstellen der obigen Gleichung sind also x = 0 und x = 2:

$$0 \cdot (0 - 2) = 0 \cdot (-2) = 0$$

$$2 \cdot (2 - 2) = 2 \cdot 0 = 0$$

Mit dem Satz vom Nullprodukt sieht man die Lösung oft sofort (ohne bewusst zu rechnen). Das ist aber meist der letzte Schritt, vorher muss man ein Produkt erst durch Ausklammern oder Faktorisieren herstellen.

Z.B. könnte die Beispielgleichung ursprünglich $x^2 - 2 \cdot x = 0$ lauten und erst durch das Ausklammern von x erhält man das Produkt $x \cdot (x - 2)$ auf der linken Seite der Gleichung, für das man dann den Nullproduktsatz anwenden kann.

Alternative Begriffe: Nullproduktsatz, Satz des Nullprodukts.