Definition
Die Quotientenregel als eine der Ableitungsregeln wird angewendet, wenn ein Bruch mit Funktionstermen im Zähler und Nenner abgeleitet werden soll.
Alternative Begriffe: Ableitung von Brüchen.
Formel
Die Quotientenregel allgemein als Formel:
$$y = \frac{f(x)}{g(x)} \to y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$
Beispiel
Beispiel: Quotientenregel
Die Funktion sei
$$f(x) = \frac{x^3}{(3x + 2)}$$
Die mit der Quotientenregel gebildete 1. Ableitung der Funktion ergibt ebenfalls einen Bruch; dabei ist
- der ("abgeleitete") Zähler: (Zähler abgeleitet mal Nenner) minus (Zähler mal Nenner abgeleitet) und
- der (abgeleitete) Nenner: Nenner quadriert.
Für die obige Funktion:
$$f '(x) = \frac{[3x^2 \cdot (3x + 2) - x^3 \cdot 3]}{(3x + 2)^2}$$
$$f '(x) = \frac{(9x^3 + 6x^2- 3x^3)}{(3x + 2)^2}$$
$$f '(x) = \frac{(6x^3 + 6x^2)}{(3x + 2)^2}$$
Funktionsterme nur im Zähler oder Nenner des Bruchs
Die Quotientenregel ist nur dann notwendig, wenn Funktionsterme mit x in Zähler und Nenner sind.
x nur im Zähler
Beispiel: x nur im Zähler
$$f(x) = \frac{x^3}{3}$$
Das kann man auch so schreiben:
$$f(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3$$
Und mit der Faktorregel ableiten:
$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$
x nur im Nenner
Beispiel: x nur im Nenner
$$f(x) = \frac{1}{(x + 2)}$$
Das kann man auch so schreiben:
$$f(x) = (x + 2)^{-1}$$
Und mit der Ableitung einer Potenzfunktion:
$$f'(x) = -1 \cdot (x + 2)^{-2} = - \frac{1}{(x + 2)^2}$$
Fazit
- y' = (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) / (g(x))2 – Zähler: „Z' · N − Z · N'“, Nenner: N²
- Notwendig nur wenn Funktionsterme (mit x) in Zähler und Nenner vorliegen
- x nur im Zähler → Faktorregel genügt; x nur im Nenner → Potenzschreibweise + Kettenregel
- Ergebnis ist stets ein Bruch: Zähler = Z' · N − Z · N', Nenner = N2
Selbsttest: Quotientenregel
Aufgabe: Quotientenregel anwenden
Gegeben ist y(x) = x2 / (x+2). Berechnen Sie y'(x) und y'(2).
Zähler f = x2, Nenner g = x+2; f' = 2x, g' = 1
y'(x) = (2x·(x+2) − x2·1) / (x+2)2 = (2x2+4x − x2) / (x+2)2 = (x2+4x) / (x+2)2
y'(2) = (4+8) / (2+2)2 = 12 / 16 = 3/4