Definition
Das quadratische Mittel – ein sehr selten angewandter Mittelwert – berechnet sich wie im Beispiel unten.
Alternative Begriffe: Quadratischer Mittelwert, Root Mean Square.
Beispiel
Beispiel: quadratischen Mittelwert berechnen
Das quadratische Mittel für die Zahlen 1, 2 und 3 ist:
$$\sqrt {1/3 \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2)} =$$
$$\sqrt {1/3 \cdot (1 + 4 + 9)} =$$
$$\sqrt {1/3 \cdot 14} = 2,16 \, (gerundet).$$
Man
- quadriert also die Daten,
- summiert die Quadrate auf,
- teilt die Summe durch die Anzahl der Daten (bzw. multipliziert wie hier mit 1/Anzahl der Daten) und
- zieht daraus die Quadratwurzel.
Wirkung / Interpretation
Durch die Quadrierung kann das quadratische Mittel nie negativ sein; zudem wirken größere Werte stärker: der Unterschied von 32 (= 9) zu 22 (= 4) ist mit 125 % größer als der Unterschied zwischen 3 und 2 (nur 50 % mehr).
Eine beispielhafte Interpretation:
Angenommen, man sollte laut Empfehlung 2 mal wöchentlich Sport treiben.
Wenn die drei obigen Daten 1, 2 und 3 zum Beispiel die Häufigkeit wäre, mit der eine Person in den letzten 3 Wochen Sport getrieben hätte, würde die größere Gewichtung der höheren Häufigkeit abbilden, dass mehr Sport im Hinblick auf Gesundheitseffekte stärker gewichtet wird als weniger Sport.
Darüber hinaus gibt es für quadratische Mittelwerte noch praktische Anwendungen in der Physik.
Quadratisches vs. arithmetisches Mittel
Zum Vergleich: das arithmetische Mittel ist (1 + 2 + 3) / 3 = 2.
Bei diesem werden die Daten gleich gewichtet, größere Werte werden nicht wie beim quadratischen Mittel stärker gewichtet.
Der arithmetische Mittelwert ist der häufigste Mittelwert, der quadratische Mittelwert kommt nur sehr selten zum Einsatz.
Das arithmetische Mittel ist im Übrigen immer kleiner gleich dem quadratischen Mittel (im Beispiel ist es mit 2 kleiner als 2,16).
Fazit
- Das quadratische Mittel (Root Mean Square) ist die Wurzel aus dem Durchschnitt der quadrierten Werte: x̅quad = √(∑xi2 / n).
- Durch die Quadrierung sind größere Werte stärker gewichtet und das Ergebnis ist stets nicht-negativ.
- Das quadratische Mittel ist stets größer oder gleich dem arithmetischen Mittel.
- Es wird selten eingesetzt; Anwendungsgebiete liegen vor allem in der Physik und Elektrotechnik.
Selbsttest: Quadratisches Mittel
Aufgabe: Quadratisches Mittel berechnen
Berechnen Sie das quadratische Mittel der vier Werte 2, 4, 6 und 8.
Formel: x̅quad = √(∑xi2 / n)
Quadrate: 22 + 42 + 62 + 82 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120
Einsetzen: √(120 / 4) = √30 ≈ 5,48
Ergebnis: Das quadratische Mittel beträgt √30 ≈ 5,48.
Zum Vergleich: das arithmetische Mittel ist (2+4+6+8)/4 = 5 – also kleiner als das quadratische Mittel.