Arithmetisches Mittel
Arithmetisches Mittel (Durchschnitt)
Das arithmetische Mittel ist der umgangssprachliche Durchschnitt bzw. Mittelwert aus mehreren Werten.
Alle Werte werden aufaddiert und die Summe wird durch die Anzahl der Werte geteilt.
Die Berechnung des arithmetischen Mittels setzt intervallskalierte Daten voraus.
Alternative Begriffe: Arithmetischer Mittelwert, Durchschnitt, Durchschnittswert, gewichtetes arithmetisches Mittel, gewichtetes Mittel, Mean (englisch), statistischer Mittelwert.
Formel
$$\bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$
Dabei ist
- $\bar x$ das Symbol für den arithmetischen Mittelwert
- $x_i$ der jeweilige i-te Messwert
- n die Anzahl der Messwerte.
Beispiele
Beispiel 1: Einfaches arithmetisches Mittel
Ein Eisverkäufer nimmt auf einem Stadtfest am Samstag 100 € ein und am Sonntag 120 €.
$x_1$ ist also 100 €, $x_2$ ist 120 € und die Anzahl der Werte n ist 2.
Das einfache arithmetische Mittel $\bar x$ im Sinne der durchschnittlichen Tageseinnahmen ist dann in €:
$$\bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \frac{100 + 120}{2} = 110$$
Beispiel 2: Gewogenes arithmetisches Mittel
Bei einer hohen Anzahl von Daten werden die Messwerte meist nicht einzeln, sondern mit ihren absoluten oder relativen Häufigkeiten angegeben.
In dem Fall wird dann der gewogene Durchschnitt benötigt und berechnet.
Nehmen wir an, das Stadtfest dauert 10 Tage und der Eisverkäufer nimmt an 3 Tagen je 100 € ein und an 7 Tagen 120 €.
Dann ist das mit diesen Häufigkeiten gewichtete arithmetische Mittel:
$$\bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i \cdot h_i}{n} = \frac{100 \cdot 3 + 120 \cdot 7}{10}$$
$$= \frac{300 + 840}{10} = \frac{1140}{10} = 114$$
Hier werden also die Einnahmen mit ihren Häufigkeiten (Anzahl der Tage) gewichtet.
Alternativ kann auch mit relativen Häufigkeiten bzw. Anteilen gerechnet werden (an 30 % der Tage werden 100 € eingenommen, an 70 % der Tage 120 € ):
$$\bar x = 0,3 \cdot 100 + 0,7 \cdot 120$$
$$= 30 + 84 = 114$$
Interpretation
Der Durchschnitt verdichtet die Aussage über eine Datenmenge.
Allerdings ist die Aussagekraft oft auch eingeschränkt: Hat einer 10 Mio. €, ein zweiter gar nichts, wäre der Durchschnitt 5 Mio. € ("alle reich") — das spiegelt die Vermögensverhältnisse aber nicht wirklich wider.
Der Mittelwert kann durch Ausreißer stark beeinflusst werden und verliert dann seine Aussagekraft (die Angabe von Streuungsmaßen wie der Spannweite oder der Varianz würde diese Schwäche offenlegen).
Im obigen Beispiel ohne Ausreißer spiegelt der Durchschnitt von 110 € bzw. 114 € aber ganz gut wider, in welcher Größenordnung der Eisverkäufer Einnahmen hat.