abc-Formel

abc-Formel Definition

Mit der abc-Formel lassen sich quadratische Gleichungen wie z.B. 2x2 + 2x - 12 = 0 lösen (das abc kommt von den regelmäßig verwendeten Koeffizienten der allgemeinen Form: ax2 + bx + c = 0, hier mit a = 2, b = 2 und c = -12).

Gegenüber der p-q-Formel hat die abc-Formel den Vorteil, dass die Gleichung verwendet werden kann, ohne vorher ggf. den Multiplikator vor dem x2 durch Umformung entfernen zu müssen.

Die abc-Formel enthält einen Term – die Diskriminante –, dessen Wert (> 0, = 0 oder < 0 ) angibt, ob die quadratische Gleichung zwei Lösungen, eine Lösung oder keine (reelle) Lösung hat.

Alternative Begriffe: Lösungsformel für quadratische Gleichungen, Mitternachtsformel, Mondscheinformel, quadratische Formel, quadratische Lösungsformel.

Beispiel

Beispiel: quadratische Gleichung mit abc-Formel lösen

Die Gleichung 2x2 + 2x - 12 = 0 soll gelöst werden.

Allgemein haben quadratische Gleichungen die Form ax2 + bx + c = 0; im Beispiel ist a = 2, b = 2 und c = -12.

Die abc-Formel lautet:

$$x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$$

Die 2 Lösungen der Gleichungen ergeben sich, indem die Wurzel einmal addiert und einmal subtrahiert wird (was ggf. auch zu identischen Werten, also nur zu einer Lösung führen kann).

Die Werte für a, b und c in die Formel eingesetzt:

$$x_{1/2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{2 \cdot 2}$$

$$x_{1/2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{4} = \frac{-2 \pm 10}{4}$$

$x_1$ ist dann $\frac{-2 + 10}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2$ ist dann $\frac{-2 - 10}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Kontrolle:

2 × 22 + 2 × 2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0

2 × (-3)2 + 2 × (-3) -12 = 18 - 6 - 12 = 0

Diskriminante

Den Term in der Wurzel, also $b^2 - 4 \cdot a \cdot c$, nennt man Diskriminante D.

Ist die Diskriminante D

  • größer 0, hat die quadratische Gleichung 2 Lösungen (so wie im Beispiel, wo die Diskriminante 100 war);
  • gleich 0, hat die quadratische Gleichung 1 Lösung;
  • kleiner 0, hat die quadratische Gleichung keine (reelle) Lösung.