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Mathematik Letzte Änderung: 29. September 2026

Scheitelpunktform

OG Von OG 3 Minuten Lesezeit
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Definition

Die Scheitelpunktform stellt quadratische Funktionen anders dar.

Alternative Begriffe: Scheitelform.

Beispiel

Beispiel: Scheitelpunktform bestimmen

Die Beispiel-Kostenfunktion zur quadratischen Funktion war f(x) = 50x2 + 100x + 100 (dabei stand x für die Länge bzw. Breite der herzustellenden quadratischen Tische in Meter).

Lautet der Frage "Für welches x hat die Kostenfunktion ihr Minimum?", kann man dies aus der obigen Form der Funktion nicht direkt ablesen – in der Scheitelpunktform hingegen schon.

Die Funktion lässt sich umformen zu:

f(x) = 50 (x2 + 2x) + 100

Wenn jetzt an Stelle des Terms (x2 + 2x) der Term (x2 + 2x + 12) stehen würde, könnte man die 1. binomische Formel a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 anwenden (mit a = x und b = 1).

Um dahin zu kommen, ergänzt man +12 in dem Term; allerdings hat man dadurch 50 × 12, also 50 hinzuaddiert (da 50 vor der Klammer steht). Deshalb müssen als Ausgleich nach dem Term 50 abgezogen werden.

f(x) = 50 (x2 + 2x + 12) - 50 × 12 + 100

Unter Anwendung der 1. binomischen Formel ergibt sich im Ergebnis die quadratische Funktion in Scheitelpunktform:

f(x) = 50(x + 1)2 + 50

Für x = 2 wäre der Funktionswert z.B. f(2) = 50 (2 +1)2 + 50 = 50 × 9 + 50 = 450 + 50 = 500.

Kostenfunktion f(x) = 50(x+1)² + 50 als Parabel mit Scheitelpunkt S(−1|50) und Beispielwert f(2) = 500

Man kann aus der Scheitelpunktform unmittelbar ablesen, dass die Funktion bei x = -1 ihr Minimum (bzw. grafisch ihren Scheitelpunkt) hat (der erste Term wird dann 0).(Das Ergebnis ist hier nicht interpretierbar bzw. es ist sinnfrei, die Länge bzw. Breite des Tisches kann nicht -1 sein).

Fazit

  • Scheitelpunktform: f(x) = a(x − d)2 + e mit Scheitelpunkt S(d|e).
  • Umformen: d = −b/(2a), e = f(d) – oder durch quadratische Ergänzung.
  • Vorzeichen von a: a > 0 → Minimum (nach oben geöffnet); a < 0 → Maximum (nach unten geöffnet).
  • Aus der Scheitelpunktform lässt sich das Minimum bzw. Maximum direkt ablesen.
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Selbsttest: Scheitelpunktform

Was gibt der Scheitelpunkt S(d|e) an?
Den y-Achsenabschnitt und die Steigung
Den tiefsten oder höchsten Punkt der Parabel
Die Nullstellen der quadratischen Funktion
Den Schnittpunkt mit der x-Achse
f(x) = 3(x − 5)2 + 2. Wo liegt der Scheitelpunkt?
S(5|3)
S(2|5)
S(5|2)
S(−5|2)
Wie berechnet man die x-Koordinate d des Scheitelpunkts?
d = b / (2a)
d = −a / (2b)
d = c / a
d = −b / (2a)
Wann liegt ein Minimum vor?
Wenn a > 0
Wenn a < 0
Wenn d = 0
Wenn e = 0
Nochmal versuchen
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Aufgabe: Scheitelpunktform

Formen Sie f(x) = x2 − 4x + 7 in die Scheitelpunktform um und bestimmen Sie den Scheitelpunkt.

Koeffizienten: a = 1; b = −4; c = 7

d: d = −(−4) / (2 · 1) = 4/2 = 2

e: e = f(2) = 4 − 8 + 7 = 3

Scheitelpunktform: f(x) = (x − 2)2 + 3

Scheitelpunkt: S(2|3), Minimum (a = 1 > 0)

Parabel f(x) = (x − 2)² + 3 mit Scheitelpunkt S(2|3) als Minimum

Probe: (x−2)2+3 = x2−4x+4+3 = x2−4x+7 ✓

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