Scheitelpunktform
Scheitelpunktform Definition
Die Scheitelpunktform stellt quadratische Funktionen anders dar.
Beispiel
Die Beispiel-Kostenfunktion zur quadratischen Funktion war f(x) = 50x2 + 100x + 100 (dabei stand x für die Länge bzw. Breite der herzustellenden quadratischen Tische in Meter).
Lautet der Frage "Für welches x hat die Kostenfunktion ihr Minimum?", kann man dies aus der obigen Form der Funktion nicht direkt ablesen – in der Scheitelpunktform hingegen schon.
Die Funktion lässt sich umformen zu:
f(x) = 50 (x2 + 2x) + 100
Wenn jetzt an Stelle des Terms (x2 + 2x) der Term (x2 + 2x + 12) stehen würde, könnte man die 1. binomische Formel a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 anwenden (mit a = x und b = 1).
Um dahin zu kommen, ergänzt man +12 in dem Term; allerdings hat man dadurch 50 × 12, also 50 hinzuaddiert (da 50 vor der Klammer steht). Deshalb müssen als Ausgleich nach dem Term 50 abgezogen werden.
f(x) = 50 (x2 + 2x + 12) - 50 × 12 + 100
Unter Anwendung der 1. binomischen Formel ergibt sich im Ergebnis die quadratische Funktion in Scheitelpunktform:
f(x) = 50(x + 1)2 + 50
Für x = 2 wäre der Funktionswert z.B. f(2) = 50 (2 +1)2 + 50 = 50 × 9 + 50 = 450 + 50 = 500.
Man kann aus der Scheitelpunktform unmittelbar ablesen, dass die Funktion bei x = -1 ihr Minimum (bzw. grafisch ihren Scheitelpunkt) hat (der erste Term wird dann 0).(Das Ergebnis ist hier nicht interpretierbar bzw. es ist sinnfrei, die Länge bzw. Breite des Tisches kann nicht -1 sein).
Alternative Begriffe: Scheitelform.