Schiefsymmetrische Matrix

Beispiel

Die quadratische 2 × 2 Matrix sei:

$$A = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$

Die transponierte Matrix ist dann:

$$A^T = \begin{pmatrix}0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Zur Erinnerung: eine transponierte Matrix entsteht aus einer gegebenen Matrix, indem die 1. Spalte der gegebenen Matrix die 1. Zeile der transponierten Matrix wird, die 2. Spalte der gegebenen Matrix die 2. Zeile der transponierten Matrix und so weiter.

Bildet man das Negative dieser transponierten Matrix, erhält man:

$$-(A^T) = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$

Das Negative einer Matrix erhält man, indem man alle Elemente der Matrix mit umgekehrten Vorzeichen versieht: aus plus wird minus und aus minus wird plus, die Nullen bleiben.

Und das ist identisch mit der ursprünglichen Matrix A; A ist deshalb eine schiefsymmetrische Matrix.

Bei einer schiefsymmetrischen Matrix sind die Elemente auf der Hauptdiagonalen (die Diagonale von links oben nach rechts unten) alle 0.

Für die Elemente einer schiefsymmetrischen Matrix A

$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$

gilt:

$$a_{ij} = - a_{ji}$$

Dabei steht i für die Zeile und j für die Spalte.

Das heißt beispielsweise: wenn das Element a₂₁ (also das Element in der zweiten Zeile und ersten Spalte der Matrix) wie im Beispiel -2 ist, dann ist das Element a₁₂ (also das Element in der ersten Zeile und zweiten Spalte) 2.

(Daraus ergibt sich letztlich auch, dass die Elemente auf der Hauptdiagonalen alle 0 sein müssen, da nur für 0 diese Werte für a₁₁, a₂₂ und so weiter übereinstimmen).