Definition
Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ln(x)
Eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus $ln(x)$ – das heißt, eine Funktion, die abgeleitet $ln(x$) ist – ist
$$F(x) = x \cdot (ln(x) - 1)$$
oder ausmultipliziert:
$$F(x) = x \cdot ln(x) - x$$.
Nachweis
Die Stammfunktion $F(x) = x \cdot (ln(x) - 1)$ ist ein Produkt aus x und (ln(x) - 1).
Um diese Funktion abzuleiten, ist deshalb die Produktregel notwendig:
Zur Erinnerung: die Produktregel lautet allgemein als Formel:
$$y = g(x) \cdot h(x) \to$$
$$y' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$
Hier sind die beiden multiplizierten Funktionen g(x) = x und h(x) = ln(x) - 1.
Die mit der Produktregel gebildete 1. Ableitung der Funktion ergibt sich daraus, dass
- der erste Term x abgeleitet wird (das ergibt 1) und mit dem zweiten Term ln(x) - 1 multipliziert wird,
- der zweite Term ln(x) -1 abgeleitet wird (ergibt als Ableitung des natürlichen Logarithmus 1/x, die -1 fällt als Konstante beim Ableiten weg) und mit dem ersten Term x multipliziert wird,
- und diese beiden Produkte dann addiert werden.
$$f'(x) = 1 \cdot (ln(x) - 1) + x \cdot \frac{1}{x}$$
$$= ln(x) - 1 + \frac{x}{x}$$
$$= ln(x) - 1 + 1$$
$$= ln(x)$$
Auch
$$F(x) = x \cdot (ln(x) - 1) + 2$$
oder allgemein
$$F(x) = x \cdot (ln(x) - 1) + C$$
mit einer Konstanten C sind Stammfunktionen des Logarithmus, da bei der Ableitung die Konstanten wegfallen; letztere ist die allgemeine Stammfunktion.
Stammfunktion der Logarithmusfunktion loga (x)
Die obige Stammfunktion $F(x) = x \cdot (ln(x) - 1) + C$ war die des natürlichen Logarithmus ln(x).
Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion $log_a (x)$, bei der a beispielsweise 2 (dualer Logarithmus) oder 10 (dekadischer Logarithmus) statt wie beim natürlichen Logarithmus $e$ (Eulersche Zahl) sein könnte, ist ähnlich, aber etwas erweitert:
$$F(x) = \frac{1}{ln(a)} \cdot x \cdot (ln(x) - 1) + C$$
Alternative Begriffe: Aufleitung von ln x, Integral Logarithmus, Integration Logarithmus, Stammfunktion ln, Stammfunktion von ln x.
Fazit
- ∫ ln(x) dx = x · ln(x) − x + C (Nachweis via Produktregel: F′(x) = ln(x) ✓).
- Allgemeiner Logarithmus: ∫ loga(x) dx = x · (ln(x) − 1) / ln(a) + C.
- Herleitung über partielle Integration: f(x) = ln(x), g′(x) = 1 ⇒ g(x) = x.
- Merksatz: Die Stammfunktion von ln(x) enthält das Produkt x · ln(x).
Selbsttest: Stammfunktion Logarithmus
Aufgabe: Integral des Logarithmus
Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫1e ln(x) dx.
Stammfunktion: F(x) = x · ln(x) − x
Einsetzen: F(e) − F(1) = (e · 1 − e) − (1 · 0 − 1)
= (e − e) − (0 − 1) = 0 − (−1) = 1
Ergebnis: ∫1e ln(x) dx = 1