Stichprobenverteilung

Stichprobenverteilung Definition

Eine Stichprobenverteilung ist die Verteilung einer statistischen Kenngröße (z.B. des arithmetischen Mittels, des Anteilswerts oder der Varianz) aller möglichen gleichgroßen Stichproben, die aus einer Grundgesamtheit gezogen werden.

Da man weiß, wie die Stichprobenverteilungen der einzelnen Kenngrößen aussehen (z.B. normalverteilt), können Rückschlüsse aus einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit gezogen werden.

Beispiel

Es gibt 3 Personen A, B und C (die Grundgesamtheit) im Alter von 6, 10 und 17 Jahren. Das Durchschnittsalter (der arithmetische Mittelwert) der Grundgesamtheit ist: (6 + 10 + 17) / 3 = 33 / 3 = 11 Jahre.

Man kann daraus folgende Stichproben von z.B. 2 Personen ziehen und jeweils den Mittelwert berechnen:

• A B: (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8 (Jahre);
• A C: (6 + 17) / 2 = 23 / 2 = 11,5;
• B C: (10 + 17) / 2 = 27 / 2 = 13,5.

Die 3 berechneten Stichprobenmittelwerte (8, 11,5 und 13,5 Jahre) haben jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, die Stichprobenverteilung der arithmetischen Mittelwerte ist somit:

8 Jahre | 0,333

11,5 Jahre | 0,333

13,5 Jahre | 0,333

Man kann aus dem Beispiel erkennen, dass es nicht so einfach ist, aus einzelnen Stichproben den interessierenden Wert (hier: den Mittelwert) der Grundgesamtheit zu schätzen; alle 3 Stichproben stimmen nicht mit dem tatsächlichen Mittelwert von 11 Jahren überein; der Mittelwert der Stichprobenverteilung jedoch – (8 + 11,5 + 13,5) / 3 = 33 / 3 = 11 – stimmt mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit überein und dies ist näherungsweise bereits so, wenn nicht alle möglichen Stichproben einbezogen werden.

Für die Form der Stichprobenverteilung des Mittelwerts gilt:

• mit zunehmendem Stichprobenumfang (bis 100) nähert sich die Stichprobenverteilung unabhängig von der Verteilung der Grundgesamtheit zunächst der t-Verteilung an (während im obigen kleinen Beispiel eine Gleichverteilung vorliegt);
• ab einem Stichprobenumfang von ca. 100 nähert sich die Stichprobenverteilung der Normalverteilung an; ist bereits die Grundgesamtheit normalverteilt, entspricht die Stichprobenverteilung der Normalverteilung auch bei kleinen Stichproben.

Die Streuung der Mittelwerte in den einzelnen Stichproben wird mit dem sog. Standardfehler gemessen.

Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Stichprobe zu ziehen, ergibt sich aus dem Binomialkoeffizienten n über k mit im obigen Beispiel n = 3, k = 2 und "!" für Fakultät, ergibt: 3! / (2! × 1!) = 3.