Differenzierbarkeit

Definition

Eine Funktion ist (an einer Stelle) differenzierbar, wenn ein Grenzwert existiert. Man kann dann (an der Stelle) eine 1. Ableitung berechnen.

Die meisten Funktionen sind differenzbar, deshalb ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion:

Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist z.B. an der Stelle 0 nicht differenzierbar, da der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle 0 nicht existiert:

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$$

Der Grenzwert ist hier 1 für x > 0 und - 1 für x < 0 (Setzt man z.B. x = 0,001, ist der Wert 0,001/0,001 = 1; Setzt man x = -0,001, ist der Wert 0,001/-0,001 = -1).

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit gibt es Zusammenhänge:

• Ist eine Funktion (an einer Stelle) differenzierbar, ist sie dort auch stetig;
• Umgekehrt gilt: es sind zwar nur stetige Funktionen differenzierbar, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar (weitere Bedingungen sind zu prüfen; die Betragsfunktion ist z.B. stetig, aber – wie oben gesagt – nicht differenzierbar). Ist eine Funktion nicht stetig, ist sie auf jeden Fall nicht differenzierbar.