Definitheit einer Matrix
Definition
Die Definitheit als eine Eigenschaft von quadratischen Matrizen kann auf mehrere Arten bestimmt werden.
Definitheit bestimmen
Hauptminoren und Hauptminorenkriterium
Eine Möglichkeit führt über die sogenannten Hauptminoren, das sind bestimmte Determinanten, die für die Matrix berechnet werden.
Eine Matrix ist nach dem Hauptminorenkriterium (auch Kriterium von Sylvester genannt)
- positiv definit, wenn alle Hauptminoren > 0 sind und
- negativ definit, wenn alle geraden Hauptminoren der Matrix > 0 und alle ungeraden Hauptminoren der Matrix < 0 sind.
Hinweis: mit dem Hauptminorenkriterium kann man nur herausfinden, ob die Matrix positiv oder negativ definit ist; mit der alternativen Methode über die Eigenwerte hingegen auch, ob sie positiv oder negativ semidefinit oder indefinit ist.
Alternative: über die Eigenwerte
Alternativ kann die Definitheit auch über die Eigenwerte bestimmt werden.
Dabei gilt: Sind alle Eigenwerte
- größer 0, ist die Matrix positiv definit;
- größer oder gleich 0, ist die Matrix positiv semidefinit;
- kleiner 0, ist die Matrix negativ definit;
- kleiner oder gleich 0, ist die Matrix negativ semidefinit.
Sind nicht alle Eigenwerte größer oder gleich bzw. kleiner oder gleich 0, sondern gibt es positive und negative Eigenwerte, ist die Matrix indefinit.
Beispiel
Es soll die Definitheit für die Matrix aus dem Beispiel zur Diagonalmatrix mit Hauptminoren bestimmt werden:
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Nun werden die 3 Hauptminoren dieser 3 × 3 - Matrix berechnet.
Dabei wird
- die erste Determinante (Hauptminor H1) für das links oben angesiedelte "1 × 1-Quadrat" (das nur die Zahl 1 enthält),
- der 2. Hauptminor für das links oben beginnende "2 × 2-Quadrat" und
- der 3. Hauptminor für die gesamte Matrix (3 × 3-Quadrat) berechnet.
$$|H_1| = det \begin{vmatrix}1 \end{vmatrix} = 1$$
H2 berechnen (Berechnung einer 2 × 2-Determinante):
$$|H_2| = det \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (0 \cdot 0)$$
$$= 2 - 0 = 2$$
H3 berechnen (Berechnung mit der Regel von Sarrus):
$$ |H_3| = det \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6$$
Da alle 3 Hauptminoren > 0 sind, ist die Matrix positiv definit.
H2 ist die gerade Hauptminore, H1 und H3 sind die ungeraden Hauptminoren.