Definitheit einer Matrix

Definitheit Definition

Die Definitheit als eine Eigenschaft von Matrizen kann auf mehrere Arten bestimmt werden.

Eine Möglichkeit führt über die sogenannten Hauptminoren, das sind bestimmte Determinanten, die für die Matrix berechnet werden.

Eine Matrix ist nach dem Hauptminorenkriterium

  • positiv definit, wenn alle Hauptminoren > 0 sind und
  • negativ definit, wenn alle geraden Hauptminoren der Matrix > 0 und alle ungeraden Hauptminoren der Matrix < 0 sind.

Beispiel

Es soll die Definitheit für die Matrix aus dem Beispiel zur Diagonalmatrix bestimmt werden:

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Nun werden die 3 Hauptminoren dieser 3 × 3 - Matrix berechnet. Dabei wird die erste Determinante (Hauptminor H1) für das links oben angesiedelte "1 × 1-Quadrat" (das nur die Zahl 1 enthält), der 2. Hauptminor für das links oben beginnende "2 × 2-Quadrat" und der 3. Hauptminor für die gesamte Matrix (3 × 3-Quadrat) berechnet.

$$|H_1| = det \begin{vmatrix}1 \end{vmatrix} = 1$$

H2 berechnen (Berechnung einer 2 × 2-Determinante):

$$|H_2| = det \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (0 \cdot 0) = 2 - 0 = 2$$

H3 berechnen (Berechnung mit der Regel von Sarrus):

$$ |H_3| = det \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6$$

Da alle 3 Hauptminoren > 0 sind, ist die Matrix positiv definit.

H2 ist die gerade Hauptminore, H1 und H3 sind die ungeraden Hauptminoren.

Alternativ kann die Definitheit auch über die Eigenwerte bestimmt werden.