Dreiecksmatrix

Dreiecksmatrix Definition

Sind bei einer quadratischen Matrix (z.B. 3 × 3 - Matrix mit 9 Elementen) alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, ist das eine sogenannte untere Dreiecksmatrix; sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, ist das eine obere Dreiecksmatrix.

Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1&1&0 \\ 0&-4&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)$$

Die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen (Diagonale von links oben nach rechts unten, hier mit den Zahlen 1, -4 und 1) sind alle 0.

Beispiel für eine untere Dreiecksmatrix

$$ B = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 1&-4&0 \\ 1&1&1 \end{array} \right)$$

Die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind alle 0.

Ist eine Matrix sowohl eine obere als auch eine untere Dreiecksmatrix, ist das eine Diagonalmatrix.

Für Dreiecksmatrizen lassen sich Determinanten viel einfacher berechnen als sonst: die Determinante ist einfach das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen, im Beispiel: 1 × (-4) × 1 = -4.

Der Gauß-Algorithmus überführt z.B. Matrizen in eine Dreiecksmatrix, um Gleichungssysteme zu lösen.