Definition
Sind bei einer quadratischen Matrix (zum Beispiel 3 × 3 - Matrix mit 9 Elementen) alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, ist das eine sogenannte untere Dreiecksmatrix.
Sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, ist das eine obere Dreiecksmatrix.
Beispiele
Beispiel 1: Obere Dreiecksmatrix
$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1&1&0 \\ 0&-4&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)$$
Die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen (Diagonale von links oben nach rechts unten, hier mit den Zahlen 1, -4 und 1) sind alle 0.
Beispiel 2: Untere Dreiecksmatrix
$$ B = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 1&-4&0 \\ 1&1&1 \end{array} \right)$$
Die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind alle 0.
Beispiel 3: Obere und untere Dreiecksmatrix zugleich
Ist eine Matrix sowohl eine obere als auch eine untere Dreiecksmatrix, ist das eine Diagonalmatrix, zum Beispiel:
$$ B = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&-4&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)$$
Determinante einer Dreiecksmatrix
Für Dreiecksmatrizen lassen sich Determinanten viel einfacher berechnen als sonst: die Determinante ist einfach das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen, im Beispiel: 1 × (-4) × 1 = -4.
Inverse Matrix einer Dreiecksmatrix
Die inverse Matrix einer (invertierteren) oberen Dreiecksmatrix ist wiederum eine obere Dreiecksmatrix; und analog: die inverse Matrix einer (invertierteren) unteren Dreiecksmatrix ist ebenfalls eine untere Dreiecksmatrix.
Eigenwerte einer Dreiecksmatrix
Auch die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind leichter zu finden: sie stehen in der Hauptdiagonalen, im Beispiel also die Zahlen 1, - 4 und 1 (der Eigenwert 1 tritt hier mehrfach (genauer: zweifach) auf; es gibt jeweils so viel Eigenwerte, wie die quadratische Matrix Zeilen bzw. Spalten hat, hier also 3).
Anwendung
Der Gauß-Algorithmus überführt zum Beispiel Matrizen in eine Dreiecksmatrix, um Gleichungssysteme zu lösen.
Fazit
- Eine obere Dreiecksmatrix hat unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen; eine untere Dreiecksmatrix hat oberhalb nur Nullen.
- Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente – direkt ablesbar, keine weiteren Rechenschritte nötig.
- Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix stehen ebenfalls auf der Hauptdiagonalen.
- Eine Matrix, die zugleich obere und untere Dreiecksmatrix ist, ist eine Diagonalmatrix.
- Der Gauß-Algorithmus überführt Matrizen in Dreiecksform, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Selbsttest: Dreiecksmatrix
Aufgabe: Determinante und Eigenwerte einer Dreiecksmatrix
Gegeben ist folgende obere Dreiecksmatrix A:
$$A = \begin{pmatrix}2 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}$$
a) Berechnen Sie die Determinante von A.
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.
a) Determinante:
Formel: Für eine Dreiecksmatrix gilt det(A) = Produkt der Hauptdiagonalelemente.
Einsetzen: det(A) = 2 × (−3) × 5 = −30
b) Eigenwerte:
Bei einer Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte direkt auf der Hauptdiagonalen:
λ1 = 2, λ2 = −3, λ3 = 5