Definition
Die Stetigkeit ist eine mögliche Eigenschaft einer Funktion; eine stetige Funktion kann man durchgängig (ohne Absetzen des Stiftes) zeichnen, sie hat keine Sprungstellen.
Die Funktion $f(x) = 2x$ ist zum Beispiel stetig. Viele Standardfunktionen sind stetig, etwa die Logarithmusfunktion oder die Exponentialfunktion:
Im Beispiel zur empirischen Verteilungsfunktion hingegen kann man die Sprungstellen gut sehen, es handelt sich um eine unstetige Funktion:
Mathematisch: Eine Funktion ist an einer Stelle x0 stetig, wenn für den Grenzwert (Limes, kurz lim) gilt:
$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$
Eine Funktion ist insgesamt stetig (nicht nur an einer bestimmten Stelle x0), wenn das für jedes beliebige x0 aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt.
Nimmt man die Funktion f(x) = 2x und wählt x0 = 2, und lässt man x gegen den Wert 2 laufen, ist der Grenzwert 4 und entspricht damit dem Funktionswert an der Stelle 2, f(2) = 2 × 2 = 4. Die Funktion ist stetig an der Stelle 2.
Linksseitig und rechtsseitig stetig
Der Grenzwert kann auch einseitig sein; existiert er nur für x x0 (man nähert sich x0 von links), dann ist die Funktion linksseitig stetig; existiert er nur für x > x0 (man nähert sich x0 von rechts), dann ist die Funktion rechtsseitig stetig.
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Ist eine Funktion (an einer Stelle) differenzierbar, ist sie (dort) auch immer stetig.
Umgekehrt gilt das nicht zwingend: so ist die Betragsfunktion an der Stelle x = 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar.
Fazit
- Eine stetige Funktion hat keine Sprungstellen – ihr Graph lässt sich ohne Absetzen des Stifts zeichnen
- Mathematisch: f ist an x0 stetig, wenn limx → x0 f(x) = f(x0) gilt
- Differenzierbar ⇒ stetig; stetig ⇏ differenzierbar (z. B. f(x) = |x| ist an x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar)
- Existiert der Grenzwert nur von einer Seite, spricht man von linksseitiger bzw. rechtsseitiger Stetigkeit
Selbsttest: Stetigkeit
Aufgabe: Stetigkeit prüfen
Prüfen Sie, ob f(x) = x2 + 1 an der Stelle x0 = 2 stetig ist. Wenden Sie die mathematische Stetigkeitsbedingung an.
Stetigkeitsbedingung: limx → x0 f(x) = f(x0)
Grenzwert: limx → 2 (x2 + 1) = 22 + 1 = 5
Funktionswert: f(2) = 22 + 1 = 5
Da limx → 2 f(x) = f(2) = 5, ist f an x0 = 2 stetig. ✓