Quotientenkriterium

Quotientenkriterium Definition

Mit dem Quotientenkriterium können Reihen auf Konvergenz untersucht werden, d.h. daraufhin, ob eine Reihe gegen einen (endlichen) Wert läuft.

Dafür bildet man für eine Reihe $ = \sum a_n$ den Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty} \vert \frac{a_{n + 1}}{a_n} \vert$

Ist dieser Grenzwert

  • < 1, konvergiert die Reihe
  • > 1, divergiert die Reihe
  • = 1, kann man es nicht sagen (weitere Prüfungen notwendig).

Beispiel

Die Reihe sei

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{n}{2^n}$$

Um den Grenzwert zu berechnen, wird zunächst der Quotient gebildet:

$$\frac{\frac{n + 1}{2^{n + 1}}}{\frac{n}{2^n}}$$

Anschließend wird der Term umgeformt:

$$= \frac{(n + 1) \cdot 2^n}{2^{n + 1} \cdot n} = \frac{n + 1}{2 \cdot n} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{n})$$

Wenn man für $(1 + \frac{1}{n})$ n gegen unendlich laufen lässt, geht der Term gegen 1 und der Grenzwert ist dann 1/2 bzw. 0,5:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$$

Da der Grenzwert mit 0,5 < 1 ist, konvergiert die Reihe.

Neben dem Quotientenkriterium gibt es weitere Konvergenzkriterien wie das Majorantenkriterium oder Wurzelkriterium.