Laplacescher Entwicklungssatz

Laplacescher Entwicklungssatz Definition

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann die Determinante v.a. für größere quadratische Matrizen (z.B. 4 × 4, 5 × 5) bestimmt werden (für kleinere Matrizen geht das auch mit einer einfachen Formel (2 × 2 - Matrix, vgl. Determinante) oder der Regel von Sarrus (3 × 3 - Matrix)).

Das erfordert ein paar Zwischenberechnungen von Unterdeterminanten (Minoren) und Kofaktoren.

Beispiel

Das Beispiel zur Regel von Sarrus soll nun mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden.

Die Matrix war:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Nun berechnet man für die 3 Elemente der ersten Zeile der Matrix zunächst die Unterdeterminanten bzw. Minoren und daraus die Kofaktoren:

$$M_{1,1} = \begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}$$

$$= 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6 = 45 - 48 = - 3$$

$$K_{1,1} = - 3$$

Für die Unterdeterminante bzw. den Minor M1,1 (1. Zeile und 1. Spalte) wird die 1. Zeile und die 1. Spalte der Matrix A gestrichen; von der verbleibenden 2 × 2 - Matrix wird die Determinante berechnet.

Ist die Summe der Indizes gerade (wie bei M1,1 mit 1 + 1 = 2), entspricht der Kofaktor dem Minor; ist die Summe der Indizes ungerade (wie bei M1,2 mit 1 + 2 = 3), wird der Minor mit einem Minus versehen, wechselt also das Vorzeichen, um den Kofaktor zu erhalten.

$$M_{1,2} = \begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$$

$$= 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6 = 36 - 42 = - 6$$

$$K_{1,2} = 6$$

$$M_{1,3} = \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$$

$$= 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5 = 32 - 35 = - 3$$

$$K_{1,3} = -3$$

Letzter Schritt: die 3 Elemente der ersten Zeile der Matrix werden mit ihren Kofaktoren multipliziert und es wird aufsummiert:

$$det (A) = a_{1,1} \cdot K_{1,1} + a_{1,2} \cdot K_{1,2} + a_{1,3} \cdot K_{1,3}$$

$$= 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3)$$

$$= -3 + 12 - 9 = 0$$

Die Determinante der Matrix A ist also 0 (das war auch das Ergebnis der Regel nach Sarrus).

Dieses Laplacesche Entwickeln muss nicht mit der ersten Zeile gemacht werden; es kann auch mit jeder anderen Zeile und auch Spalte gemacht werden (je mehr Nullen in einer Zeile oder Spalte sind, desto einfacher und schneller die Berechnung).

Alternative Begriffe: Entwicklungssatz von Laplace, Laplace-Entwicklungssatz.