Laplacescher Entwicklungssatz
Definition
Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann die Determinante vor allem für größere quadratische Matrizen (zum Beispiel 4 × 4, 5 × 5) bestimmt werden.
Das erfordert ein paar Zwischenberechnungen von Unterdeterminanten (Minoren) und Kofaktoren.
Alternative Begriffe: Entwicklungssatz von Laplace, Laplace-Entwicklungssatz.
Beispiel
Das Beispiel zur Regel von Sarrus soll nun mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden.
Die Matrix war:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
Nun berechnet man für die 3 Elemente der ersten Zeile der Matrix zunächst die Unterdeterminanten bzw. Minoren und daraus die Kofaktoren:
$$M_{1,1} = \begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}$$
$$= 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6 = 45 - 48 = - 3$$
$$K_{1,1} = - 3$$
Für die Unterdeterminante bzw. den Minor M1,1 (1. Zeile und 1. Spalte) wird die 1. Zeile und die 1. Spalte der Matrix A gestrichen; von der verbleibenden 2 × 2 - Matrix wird die Determinante berechnet.
Ist die Summe der Indizes gerade (wie bei M1,1 mit 1 + 1 = 2), entspricht der Kofaktor dem Minor; ist die Summe der Indizes ungerade (wie bei M1,2 mit 1 + 2 = 3), wird der Minor mit einem Minus versehen, wechselt also das Vorzeichen, um den Kofaktor zu erhalten.
$$M_{1,2} = \begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$$
$$= 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6 = 36 - 42 = - 6$$
$$K_{1,2} = 6$$
$$M_{1,3} = \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$$
$$= 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5 = 32 - 35 = - 3$$
$$K_{1,3} = -3$$
Letzter Schritt: die 3 Elemente der ersten Zeile der Matrix werden mit ihren Kofaktoren multipliziert und es wird aufsummiert:
$$det (A) = a_{1,1} \cdot K_{1,1} + a_{1,2} \cdot K_{1,2} + a_{1,3} \cdot K_{1,3}$$
$$= 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3)$$
$$= -3 + 12 - 9 = 0$$
Die Determinante der Matrix A ist also 0 (das war auch das Ergebnis der Regel nach Sarrus).
Dieses Laplacesche Entwickeln muss nicht mit der ersten Zeile gemacht werden; es kann auch mit jeder anderen Zeile und auch Spalte gemacht werden (je mehr Nullen in einer Zeile oder Spalte sind, desto einfacher und schneller die Berechnung).
Alternativen
Der Laplacesche Entwicklungssatz kommt vor allem zum Einsatz, um die Determinante für größere quadratische Matrizen zu berechnen (zum Beispiel 4 × 4, 5 × 5).
Für kleinere Matrizen geht das einfacher:
- für 2 × 2 - Matrizen mit einer einfachen Formel (siehe Determinante) oder
- für 3 × 3 - Matrizen mit der der Regel von Sarrus.