Unterdeterminante

Unterdeterminante Definition

Kürzt man eine Matrix um Zeilen und Spalten, ergibt sich eine sogenannte Untermatrix. Die Unterdeterminante (auch Minor genannt) ist die Determinante einer quadratischen Untermatrix (z.B. 2 × 2 oder 3 × 3 usw.).

Beispiele

Folgende 2 × 2 - Matrix sei gegeben:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Um z.B. den Minor M1,2 zu berechnen, streicht man die erste Zeile und die zweite Spalte der Matrix. Übrig bleibt lediglich die "Matrix" $A_{1, 2} = \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}$; das ist nur eine Zahl und deren Determinante ist die Zahl selbst, also 3.

Analog streicht man für den Minor M2,2 die zweite Zeile und die zweite Spalte der Matrix. Übrig bleibt lediglich $A_{2, 2} = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}$; das ist wieder nur eine Zahl und deren Determinante ist 1.

Gegeben sei folgende 3 × 3 - Matrix:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Um z.B. den Minor M1,2 für diese Matrix zu berechnen, wird zunächst die Untermatrix durch Streichen der ersten Zeile und der zweiten Spalte gebildet:

$$A_{1, 2} = \begin{pmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}$$

Deren Minor M1,2 ist: 4 × 9 - 6 × 7 = 36 - 42 = - 6 (vgl. Berechnung der Determinante einer 2 x 2 - Matrix).