Unterdeterminante

Beispiel 1: Unterdeterminante einer 2 x 2 - Matrix

Folgende 2 × 2 - Matrix sei gegeben:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Um beispielsweise den Minor M_1,2 zu berechnen, streicht man die erste Zeile und die zweite Spalte der Matrix. Übrig bleibt lediglich die "Matrix" $A_{1, 2} = \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}$; das ist nur eine Zahl und deren Determinante ist die Zahl selbst, also 3.

Analog streicht man für den Minor M_2,2 die zweite Zeile und die zweite Spalte der Matrix. Übrig bleibt lediglich $A_{2, 2} = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}$; das ist wieder nur eine Zahl und deren Determinante ist 1.

Beispiel 2: Unterdeterminante einer 3 x 3 - Matrix

Gegeben sei folgende 3 × 3 - Matrix:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Um zum Beispiel den Minor M_1,2 für diese Matrix zu berechnen, wird zunächst die Untermatrix durch Streichen der ersten Zeile und der zweiten Spalte gebildet:

$$A_{1, 2} = \begin{pmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}$$

Um bei einer 2 × 2 - Matrix die Determinante zu berechnen, multipliziert man die beiden Zahlen der links oben beginnenden absteigenden Diagonale (4 und 9) und zieht das Produkt der Zahlen der links unten beginnenden aufsteigenden Diagonalen (7 und 6) ab (siehe Berechnung der Determinante einer 2 x 2 - Matrix).

Deren Minor M_1,2 ist: 4 × 9 - 7 × 6 = 36 - 42 = -6.

4 x 4 - Matrix und größer

Bei größeren Matrizen ist das Vorgehen – jeweils Streichen einer Zeile und Spalte – analog; nur die Determinanten müssen dann anders berechnet werden:

Bei einer 4 x 4 - Matrix reduzieren sich die Unterdeterminanten auf 3 × 3 - Matrizen; für diese kann die Determinante mit der Regel von Sarrus berechnet werden.

Bei einer 5 x 5 - Matrix reduzieren sich die Unterdeterminanten auf 4 × 4 - Matrizen; für diese kann die Determinante mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden (wofür man wiederum Unterdeterminanten benötigt).