Kofaktormatrix

Kofaktormatrix Definition

Die Kofaktormatrix einer Matrix enthält alle deren Unterdeterminanten bzw. Minoren.

Für eine 2 x 2 - Matrix sind das 4 Minoren, für eine 3 x 3 - Matrix sind das 9 Minoren.

Ist die Summe aus Zeilennummer und Spaltennummer für den jeweiligen Minor ungerade (zum Beispiel für die Minoren M1,2 oder M2,1), wird ein Minus davor gesetzt.

Alternative Begriffe: Kofaktor-Matrix.

Beispiel

Beispiel: Kofaktormatrix

Im Beispiel zur Unterdeterminante war die 2 x 2 - Matrix A:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Deren Kofaktormatrix Cof (A) enthält die 4 Minoren:

$$Cof (A) = \begin{pmatrix}M_{1,1} & M_{1,2} \\ M_{2,1} & M_{2,2} \end{pmatrix}$$

$$Cof (A) = \begin{pmatrix}4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Berechnung

Den Minor M1,2 erhält man zum Beispiel dadurch, dass man die erste Zeile der Matrix A (mit den Zahlen 1 und 2) und die zweite Spalte der Matrix A (mit den Zahlen 2 und 4) streicht (die Zahl 2 rechts oben in der Matrix wird sozusagen zweimal gestrichen).

Übrig bleibt eine 1 x 1 - Matrix mit dem einzigen Element 3.

Die Determinante einer 1 x 1 - Matrix entspricht diesem einzigen Element und ist damit 3.

Da die Summe aus Zeilennummer und Spaltennummer 1 + 2 = 3 ungerade ist, wird ein Minus davor gesetzt, ergibt -3.

Die mit den entsprechenden Vorzeichen versehenen Minoren sind die Kofaktoren (hier -3).

Analog erhält man den Minor M2,2: man streicht die zweite Zeile der Matrix A (mit den Zahlen 3 und 4) und die zweite Spalte der Matrix A (mit den Zahlen 2 und 4), übrig bleibt wiederum eine 1 x 1 - Matrix mit dem einzigen Element 1 und damit mit der Determinante 1.

Da die Summe aus Zeilennummer und Spaltennummer 2 + 2 = 4 und damit nicht ungerade ist, kann die Zahl so bleiben, es wird kein Minus davor gesetzt (und der Kofaktor entspricht dem Minor).

Grundlage für adjunkte Matrix

Die Erstellung einer Kofaktormatrix ist mitunter ein Zwischenschritt.

So nimmt die adjunkte bzw. komplementäre Matrix einer Matrix A deren Kofaktormatrix und transponiert sie.

Und daraus lässt sich in einem weiteren Schritt die Inverse der (quadratischen) Matrix bestimmen.

Zusammenfassung

Eine Kofaktormatrix entsteht so:

Man bildet alle Untermatrizen, die durch Streichen jeweils einer Zeile und Spalte möglich sind.

Für diese quadratischen Untermatrizen berechnet man die jeweilige Determinante; diese wird Unterdeterminante oder Minor genannt.

Setzt man nun das Vorzeichen vor die Minoren nach der obigen Regel, erhält man die Kofaktoren.

Und alle Kofaktoren in eine Matrix übertragen, ergeben die Kofaktormatrix.