Kofaktormatrix

Beispiel: Kofaktormatrix

Im Beispiel zur Unterdeterminante war die 2 x 2 - Matrix A:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Deren Kofaktormatrix Cof (A) enthält die 4 Minoren:

$$Cof (A) = \begin{pmatrix}M_{1,1} & M_{1,2} \\ M_{2,1} & M_{2,2} \end{pmatrix}$$

$$Cof (A) = \begin{pmatrix}4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Berechnung

Den Minor M_1,2 erhält man zum Beispiel dadurch, dass man die erste Zeile der Matrix A (mit den Zahlen 1 und 2) und die zweite Spalte der Matrix A (mit den Zahlen 2 und 4) streicht (die Zahl 2 rechts oben in der Matrix wird sozusagen zweimal gestrichen).

Übrig bleibt eine 1 x 1 - Matrix mit dem einzigen Element 3.

Die Determinante einer 1 x 1 - Matrix entspricht diesem einzigen Element und ist damit 3.

Da die Summe aus Zeilennummer und Spaltennummer 1 + 2 = 3 ungerade ist, wird ein Minus davor gesetzt, ergibt -3.

Die mit den entsprechenden Vorzeichen versehenen Minoren sind die Kofaktoren (hier -3).

Analog erhält man den Minor M_2,2: man streicht die zweite Zeile der Matrix A (mit den Zahlen 3 und 4) und die zweite Spalte der Matrix A (mit den Zahlen 2 und 4), übrig bleibt wiederum eine 1 x 1 - Matrix mit dem einzigen Element 1 und damit mit der Determinante 1.

Da die Summe aus Zeilennummer und Spaltennummer 2 + 2 = 4 und damit nicht ungerade ist, kann die Zahl so bleiben, es wird kein Minus davor gesetzt (und der Kofaktor entspricht dem Minor).

Grundlage für adjunkte Matrix

Die Erstellung einer Kofaktormatrix ist mitunter ein Zwischenschritt.

So nimmt die adjunkte bzw. komplementäre Matrix einer Matrix A deren Kofaktormatrix und transponiert sie.

Und daraus lässt sich in einem weiteren Schritt die Inverse der (quadratischen) Matrix bestimmen.