Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Definition

Mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn man aus ihnen mit einer Linearkombination – mit Skalaren bzw. Faktoren, die nicht alle 0 sind – den Nullvektor bilden kann.

Ansonsten sind die Vektoren linear unabhängig.

Beispiel (für 2 Vektoren)

Zwei Vektoren seien $a = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Durch folgende Linearkombination kann man aus diesen Vektoren einen Nullvektor konstruieren:

$$a + 2 \cdot b = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Die beiden Vektoren a und b sind deshalb linear abhängig (der Skalar bzw. Faktor vor a ist 1, der Skalar vor b ist 2, es sind also nicht alle 0; wenn man alle Faktoren auf 0 setzt, ergibt sich natürlich immer der Nullvektor).

Lineare Abhängigkeit bedeutet auch: jeder (einzelne) Vektor lässt sich als Linearkombination des oder (bei 3 oder mehr Vektoren der) anderen Vektoren darstellen:

$$a = -2 \cdot b = -2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$$

$$b = -\frac{1}{2} \cdot a = -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$