Definition
Bei einem Nullvektor sind alle Elemente 0.
Der Nullvektor wird oft als 0 geschrieben (wie auch die Zahl 0) – oder wie unten bei den Beispielen.
Beispiele
Beispiele für Nullvektoren
Ein zweidimensionaler Nullvektor:
$$a = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Ein dreidimensionaler Nullvektor:
$$b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Das sind zwei verschiedene Nullvektoren: Der erste Vektor könnte zum Beispiel die Anzahl der Gold- und Silbermedaillen eines Landes bei einem Sportwettbewerb angeben (jeweils 0), der zweite Vektor die Anzahl der Gold-, Silber- und Bronzemedaillen (jeweils 0), enthält also noch eine weitere Information ("auch keine Bronzemedaille").
Rechenregeln
Der Nullvektor ist das neutrale Element bei einer Addition oder Subtraktion von Vektoren (so wie es die Zahl 0 beim einfachen Rechnen ist). Man kann also einen Nullvektor zu einem Vektor addieren oder von diesem subtrahieren, das ändert nichts.
Multipliziert man einen Vektor mit 0 (dem Skalar bzw. der Zahl 0, Skalarmultiplikation), erhält man einen Nullvektor.
Der Betrag bzw. die Länge eines Nullvektors ist 0.
Anwendung
Der Nullvektor dient auch dazu, die lineare Abhängigkeit von Vektoren zu prüfen: mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn man aus ihnen mit einer Linearkombination mit Skalaren, die nicht alle 0 sind, den Nullvektor bilden kann (siehe Lineare Abhängigkeit).
Fazit
- Beim Nullvektor sind alle Elemente 0; er ist das neutrale Element der Vektoraddition: a + 0 = a.
- Multipliziert man einen beliebigen Vektor mit dem Skalar 0, entsteht der Nullvektor.
- Der Betrag des Nullvektors ist 0; er hat keine definierte Richtung.
- Er wird zur Prüfung auf lineare Abhängigkeit genutzt: Vektoren sind linear abhängig, wenn aus ihnen der Nullvektor nichttrivial gebildet werden kann.
Selbsttest: Nullvektor
Aufgabe: Nullvektor nachweisen
Gegeben sei der Vektor:
$$a = \begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}$$
a) Berechnen Sie 0 · a und zeigen Sie, dass der Nullvektor entsteht.
b) Zeigen Sie, dass a + 0 = a gilt.
a) Skalarmultiplikation mit 0:
$$0 \cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot3\\0\cdot(-5)\\0\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \vec{0} \quad \checkmark$$
b) Neutrales Element der Addition:
$$a + \vec{0} = \begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+0\\-5+0\\2+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix} = a \quad \checkmark$$