Definition
Eine Potenzreihe hat allgemein die Form:
$$P(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n \cdot (x - x_0)^n$$
Ausgeschrieben: $$P(x) = a_0 \cdot (x - x_0)^0 + a_1 \cdot (x - x_0)^1 + a_2 \cdot (x - x_0)^2 + \, ... $$
Dabei ist $x_0$ der Entwicklungspunkt bzw. das Zentrum der Potenzreihe, z.B. 1.
Für Potenzreihen gibt es einen Konvergenzradius r >= 0; die Potenzreihe konvergiert im offenen Intervall ]x0 - r, x0 + r[ und divergiert außerhalb von [x0 - r, x0 + r].
Der Konvergenzradius kann oft mit dem Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium berechnet werden.
Fazit
- Allgemeine Form: P(x) = ∑n=0∞ an·(x−x0)n
- x0 ist der Entwicklungspunkt (Zentrum) der Potenzreihe
- Der Konvergenzradius r bestimmt das offene Intervall ]x0−r, x0+r[, in dem die Reihe konvergiert
Selbsttest: Potenzreihe
Aufgabe: Potenzreihe
Schreiben Sie die ersten drei Glieder der Potenzreihe P(x) = ∑n=0∞ an·(x−1)n mit den Koeffizienten a0 = 2, a1 = 3, a2 = 1 aus.
Glieder einsetzen (x0 = 1):
n = 0: 2·(x−1)0 = 2
n = 1: 3·(x−1)1 = 3·(x−1)
n = 2: 1·(x−1)2 = (x−1)2
Ergebnis: P(x) = 2 + 3·(x−1) + (x−1)2 + …