Definition
Mit dem Wurzelkriterium können Reihen daraufhin untersucht werden, ob sie konvergieren, das heißt gegen einen (endlichen) Wert laufen.
Neben dem Wurzelkriterium gibt es weitere Konvergenzkriterien wie das Majorantenkriterium oder Quotientenkriterium.
Für das Wurzelkriterium bildet man für eine Reihe $ = \sum a_n$ den Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt [n] {\vert{a_n}\vert}$
Ist dieser Grenzwert
- < 1, konvergiert die Reihe
- > 1, divergiert die Reihe
- = 1, kann man es nicht sagen (weitere Prüfungen notwendig).
Beispiel
Beispiel Wurzelkriterium
Analog dem Beispiel zum Quotientenkriterium:
Die Reihe sei
$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{n}{2^n}$$
Um den Grenzwert zu berechnen, wird zunächst die Wurzel gebildet (eigentlich muss vorher der Betrag gebildet werden; das fällt hier aber weg, da $\frac{n}{2^n}$ bereits positiv ist).
$$\sqrt [n] {\frac{n}{2^n}}$$
Anschließend wird der Term umgeformt:
$$= \frac{\sqrt [n] {n}}{\sqrt [n] {2^n}} = \frac{1}{\sqrt [n] {2^n}} \cdot \sqrt [n] {n} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt [n] {n}$$
Wenn man für $\sqrt [n] {n}$ n gegen unendlich laufen lässt, geht der Term gegen 1 (man kann das mal mit einem hohen Wert, z.B. 100.000, ausprobieren) und der Grenzwert ist dann 1/2 bzw. 0,5:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2} \cdot \sqrt [n] {n} = \frac{1}{2}$$
Da der Grenzwert mit 0,5 1 ist, konvergiert die Reihe.
Fazit
- Wurzelkriterium: limn→∞ n√|an|
- Ergebnis < 1 → konvergiert; > 1 → divergiert; = 1 → keine Aussage möglich
- Analoges Vorgehen zum Quotientenkriterium, aber mit der n-ten Wurzel statt dem Quotienten
Selbsttest: Wurzelkriterium
Aufgabe: Wurzelkriterium
Untersuchen Sie die Reihe ∑n=1∞ (1/2n) mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz.
Wurzel bilden: an = (1/2)n
n√|(1/2)n| = 1/2
Grenzwert: limn→∞ 1/2 = 1/2
Ergebnis: Da 1/2 < 1, konvergiert die Reihe.