Reziprokenregel

Reziprokenregel Definition

Mit der Reziprokenregel kann kurz und schnell die Ableitung des Kehrwerts einer Funktion berechnet werden.

Beispiel

Eine Funktion sei $f(x) = x^2 + 2$.

Dann ist der Kehrwert der Funktion

$$\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x^2 + 2}$$

Die Formel für die Ableitung des Kehrwerts einer Funktion mit der Reziprokenregel lautet allgemein:

$$\left[\frac{1}{f(x)}\right]' = \frac{-f'(x)}{[f(x)]^2}$$

In Worten: die Ableitung des Kehrwerts einer Funktion ist gleich dem Quotienten aus der 1. Ableitung der Funktion mal minus 1 (Zähler) und der Funktion im Quadrat (Nenner).

Für die Beispielfunktion:

$$\left[\frac{1}{x^2 + 2}\right]' = \frac{-2x}{(x^2 + 2)^2}$$

Berechnet man das z.B. an der Stelle x = 1, ergibt sich:

$$\left[\frac{1}{f(1)}\right]' = \frac{-2 \cdot 1}{(1^2 + 2)^2} = - \frac{2}{9}$$