Reziprokenregel

Beispiel: Reziprokenregel

Eine Funktion sei $f(x) = x^2 + 2$.

Dann ist der Kehrwert der Funktion

$$\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x^2 + 2}$$

Die Formel für die Ableitung des Kehrwerts einer Funktion mit der Reziprokenregel lautet allgemein:

$$\left[\frac{1}{f(x)}\right]' = \frac{-f'(x)}{[f(x)]^2}$$

In Worten: die Ableitung des Kehrwerts einer Funktion ist gleich dem Quotienten aus der 1. Ableitung der Funktion mal minus 1 (Zähler) und der Funktion im Quadrat (Nenner).

Für die Beispielfunktion:

$$\left[\frac{1}{x^2 + 2}\right]' = \frac{-2x}{(x^2 + 2)^2}$$

Erläuterung des Zählers:

f(x) = x² + 2 enthält mit x² eine Potenzfunktion; diese wird abgeleitet, indem der Exponent 2 als Faktor vor das x gesetzt wird und der Exponent um 1 reduziert wird, also von 2 auf 1; man erhält dann 2 × x¹ = 2x.

Die addierte Konstante 2 fällt beim Ableiten weg (die Ableitung einer Konstanten ist 0). Abschließend wird noch mit -1 multipliziert, ergibt -2x.

Berechnet man das zum Beispiel an der Stelle x = 1, ergibt sich:

$$\left[\frac{1}{f(1)}\right]' = \frac{-2 \cdot 1}{(1^2 + 2)^2} = - \frac{2}{9}$$

Kontrolle

Alternativ hätte man das auch mit der Quotientenregel bzw. über die Umformung der Funktion in eine Potenzschreibweise berechnen können:

$\frac{1}{x^2 + 2}$ in Potenzschreibweise: $(x^2 + 2)^{-1}$

Diese Potenzfunktion ableiten (inklusive Nachdifferenzieren, siehe das Beispiel zur Kettenregel):

$$-1 \cdot (x^2 + 2)^{-2} \cdot 2x$$

Und diesen Term wieder als Bruch geschrieben:

$$\frac{-2x}{(x^2 + 2)^2}$$

Anwendung

Wir haben oben eine beispielhafte Funktion genommen und dann deren Kehrwert gebildet.

Die Reziprokenregel kommt aber eigentlich dann zum Einsatz, wenn die Funktion, die man ableiten möchte, der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion ist, also man 1/f(x) vorliegen hat.

Dann kürzt die Reziprokenregel die übliche Vorgehensweise ab.