Projektionsmatrix

Projektionsmatrix Definition

Eine Projektionsmatrix A ist eine quadratische Matrix, die

  • symmetrisch (die Matrix A ist identisch mit ihrer transponierten Matrix AT) und
  • idempotent (die Matrix A im Quadrat ist gleich der Matrix A)

ist.

Beispiel

Die folgende Matrix A ist symmetrisch, denn wenn man sie transponiert (d.h. Zeilen und Spalten vertauscht), ergibt sich dieselbe Matrix:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A^T = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Die Matrix ist zudem idempotent, denn wenn man sie quadriert, ergibt sich dieselbe Matrix:

$$A^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A$$

Die Matrix A ist eine Projektionsmatrix.