Orthogonale Matrix

Orthogonale Matrix Definition

Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, für die gilt:

$$A \cdot A^T = E$$

In Worten: die Matrix A multipliziert mit ihrer transponierten Matrix A^T ergibt die Einheitsmatrix E.

Beispiel

Es gibt nicht viele Beispiele für orthogonale Matrizen; eine Matrix A sei:

$$A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Die transponierte Matrix ist dann (identisch mit A):

$$A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Multipliziert man die Matrix A mit ihrer transponierten Matrix A^T, erhält man:

$$A \cdot A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix. A ist eine orthogonale Matrix.