Orthogonale Matrix
Orthogonale Matrix Definition
Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, für die gilt:
$$A \cdot A^T = E$$
In Worten: die Matrix A multipliziert mit ihrer transponierten Matrix AT ergibt die Einheitsmatrix E.
Beispiel
Es gibt nicht viele Beispiele für orthogonale Matrizen; eine Matrix A sei:
$$A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Die transponierte Matrix ist dann (identisch mit A):
$$A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Multipliziert man die Matrix A mit ihrer transponierten Matrix AT, erhält man:
$$A \cdot A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix. A ist eine orthogonale Matrix.