Orthogonale Matrix
Orthogonale Matrix Definition
Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix (mit gleich viel Zeilen wie Spalten), für die gilt:
$$A \cdot A^T = E$$
In Worten: die Matrix A multipliziert mit ihrer transponierten Matrix AT ergibt die Einheitsmatrix E.
Zur Erinnerung:
Die transponierte Matrix einer Matrix entsteht dadurch, dass die 1. Spalte der gegebenen Matrix die 1. Zeile der transponierten Matrix wird, die 2. Spalte der gegebenen Matrix die 2. Zeile der transponierten Matrix und so weiter.
Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der die Zahlen auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten 1 sind und alle anderen Elemente sind 0.
Beispiel
Beispiel: Orthogonale Matrix
Es gibt nicht viele Beispiele für orthogonale Matrizen; eine Matrix A sei:
$$A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Die transponierte Matrix ist dann (identisch mit A):
$$A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Multipliziert man die Matrix A mit ihrer transponierten Matrix AT, erhält man:
$$A \cdot A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix (auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten sind alle Elemente 1 und alle anderen Elemente - im linken unteren und rechten oberen Eck – sind 0).
A ist eine orthogonale Matrix.