Orthogonale Matrix

Beispiel

Es gibt nicht viele Beispiele für orthogonale Matrizen; eine Matrix A sei:

$$A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Die transponierte Matrix ist dann (identisch mit A):

$$A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Zur Erinnerung:

Die transponierte Matrix einer Matrix entsteht dadurch, dass die 1. Spalte der gegebenen Matrix die 1. Zeile der transponierten Matrix wird, die 2. Spalte der gegebenen Matrix die 2. Zeile der transponierten Matrix (und so weiter bei größeren Matrizen).

Multipliziert man die Matrix A mit ihrer transponierten Matrix A^T, erhält man:

$$A \cdot A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix (auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten sind alle Elemente 1 und alle anderen Elemente - im linken unteren und rechten oberen Eck – sind 0).

A ist eine orthogonale Matrix.

Eigenschaften

Senkrecht

Spalten der Matrix stehen senkrecht („orthogonal“) aufeinander, das heißt, ihr Skalarprodukt ist 0.

Das Skalarprodukt aus den Vektoren der ersten und zweiten Spalte (wir nennen sie hier a und b) ist zum Beispiel:

$$a \cdot b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$$

Ebenso stehen Zeilen der Matrix senkrecht aufeinander.

Länge 1

Alle Spalten und Zeilen der Matrix haben die Länge 1, das heißt, der Betrag des jeweiligen Spalten- oder Zeilenvektors ist 1 (man sagt auch, sie sind normiert).

Für die beiden Spaltenvektoren:

1. Spalte:

$$\vert a \vert = \sqrt{(0^2 + 1^2)} = 1$$

2. Spalte:

$$\vert b \vert = \sqrt{(1^2 + 0^2)} = 1$$