Tangente

Tangente Definition

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktionskurve in einem bestimmten Punkt (z.B. der Punkt (1, 1) im Koordinatensystem) berührt (nicht schneidet); sie hat dieselbe Steigung wie die Kurve.

Tangente berechnen

Für eine Funktion kann man die Tangente bzw. die Gleichung der Tangente wie folgt berechnen:

Beispiel: Tangente berechnen

Die Funktion sei f(x) = x2 + 2x.

Es soll die Gleichung der Tangente berechnet werden, welche die Kurve der Funktion im Punkt x = 1 berührt.

Zunächst x = 1 in die Funktion einsetzen: f(1) = 12 + 2 × 1 = 1 + 2 = 3.

D.h., die Tangente berührt die Funktionskurve im Punkt (1, 3), also x = 1 und y = 3.

Nun muss noch die Steigung der Tangente berechnet werden:

1. Ableitung der Funktion bilden: f '(x) = 2x + 2.

f '(x) für x = 1 berechnen: f '(1) = 2 × 1 + 2 = 2 + 2 = 4. Das ist die Steigung.

Allgemein hat eine Gerade (damit auch die Tangente) die Form y = m × x + b (vgl. Lineare-Funktion).

Dabei ist m die Steigung (also 4, wie oben berechnet), x = 1 (vorgegeben) und y = 3 (oben berechnet); b (der Schnittpunkt mit der y-Achse) ist noch unbekannt.

Eingesetzt in die Geradengleichung:

3 = 4 × 1 + b

3 = 4 + b

Daraus folgt, dass b = -1 ist.

Die Tangentengleichung kann man mit t(x) bezeichnen, sie lautet dann: t (x) = 4 × x - 1.

(Zum Zeichnen der Geraden könnte man z.B. 2 Punkte berechnen:

t (0) = 4 × 0 - 1 = -1

t (1) = 4 × 1 - 1 = 3

Und die Gerade durch die Punkte (0, -1) und (1, 3) laufen lassen.)