Zweite Ableitung

Zweite Ableitung Definition

Die 2. Ableitung ist eine Ableitung der 1. Ableitung einer Funktion.

Beispiel

Für die Potenzfunktion f(x) = x3 ist die 1. Ableitung f'(x) = 3x2.

Leitet man diese 1. Ableitung erneut ab, erhält man die 2. Ableitung f''(x) = 6x.

Die 2. Ableitung (bzw. ihr Vorzeichen) zeigt, wie die Funktion (an einer Stelle) gekrümmt ist:

  • 2. Ableitung f''(x) > 0: die Kurve ist konvex bzw. linksgekrümmt (man kann sich eine Hängebrücke vorstellen); an der Stelle x = 3 z.B. wäre die Funktion wegen f''(3) = 6 × 3 = 18 > 0 konvex. Eine Sekante durch 2 Punkte der Kurve würde dann oberhalb der Kurve verlaufen (so wie ein Baumstamm, den man zwischen die beiden Brückenpfeiler der Hängebrücke legt).
  • 2. Ableitung f''(x) < 0: die Kurve ist konkav bzw. rechtsgekrümmt (man kann sich einen Regenbogen vorstellen); an der Stelle x = -3 z.B. wäre die Funktion wegen f''(-3) = 6 × (-3) = -18 < 0 konkav. Eine Sekante durch 2 Punkte der Kurve würde dann unterhalb der Kurve (des Regenbogens) verlaufen.

Die 2. Ableitung f''(x) = 6x ist für alle x > 0 auch größer 0, sie ist für alle x < 0 ebenfalls < 0. Die jeweilige Krümmung im positiven und negativen x-Bereich kann man in der Grafik gut sehen:

Zweite Ableitung

Hat man mit der 1. Ableitung einen kritischen Punkt bestimmt, bei dem die 1. Ableitung = 0 ist (das wäre bei f'(x) = 3x2 bei x = 0 der Fall), kann man mit der 2. Ableitung bestimmen, ob in diesem Punkt ein Sattelpunkt, ein Wendepunkt, ein Maximum oder ein Minimum (Extremwerte) vorliegt (in der Grafik oben liegt ein Sattelpunkt vor).

Zweite, dritte, vierte usw. Ableitungen werden höhere Ableitungen genannt. Bei einfachen Funktionen wie z.B. lineare Funktionen ist schnell Schluss mit höheren Ableitungen. Die Funktion f(x) = 2x z.B. ist einmal abgeleitet f'(x) = 2. Diese Konstante, welche die Steigung der Geraden angibt, ergibt bei einer weiteren Ableitung f''(x) = 0, d.h. die Steigung ändert sich nicht (die Steigung ist überall gleich). Höhere Ableitungen bringen einen hier nicht weiter.