Definition
Mit dem Horner-Schema können weitere Nullstellen von Polynomen bestimmt werden, wenn eine Nullstelle bereits bekannt / gegeben ist (bzw. durch Ausprobieren vorab ermittelt wurde).
Alternative Begriffe: Hornerschema, Schema Horner.
Beispiel
Beispiel: Horner-Schema
Das Polynom 3. Grades aus dem Beispiel zur Polynomdivision war:
$$x^3 - 3x^2 + 2x$$
Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die 2:
$$2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0$$
Man verwendet nur die Koeffizienten des Polynoms (die Zahlen, ohne x):
$$1 -3 + 2$$
(Hinweis: wenn das $x^3$ nicht mit dem Faktor 1 stehen würde, sondern zum Beispiel mit dem Faktor 2 (also $2x^3$), müsste man das Polynom zuerst durch den Faktor teilen.
Nun erstellt man ein reduziertes Polynom, das nur noch 2. Grades ist (also ohne ein $x^3$).
Dazu wird
- der erste Koeffizient 1 so übernommen;
- zum zweiten Koeffizienten -3 wird die bekannte Nullstelle addiert: -3 + 2 = -1
- zum dritten Koeffizienten 2 das 2-fache (wegen der Nullstelle 2) des Wertes (-1) – das ist der in der vorigen Zeile ermittelte Wert – addiert: $2 + 2 \cdot (-1) = 0$
Das Horner-Schema in tabellarischer Form (x0 = 2):
| x0 = 2 | 1 | −3 | 2 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| x0 × vorh. Wert: | + 2 | − 2 | + 0 | |
| Ergebnis | 1 | −1 | 0 | 0 (Rest = 0 ✓) |
Das reduzierte Polynom mit den Koeffizienten 1 und -1 lautet:
$$x^2 - x$$
Für dieses reduzierte Polynom 2. Grades lassen sich die Nullstellen leicht finden (zum Beispiel indem man x ausklammert und bei $x \cdot (x - 1)$ die Nullstellen unmittelbar erkennt oder mit der p-q-Formel); sie lauten 0 und 1 (siehe das Beispiel zur Polynomdivision).
Insgesamt hat das obige Polynom also 3 Nullstellen: 0 und 1 (mit dem Horner-Schema gefunden) und 2 (vorab bekannt).
Fazit
- Das Horner-Schema dividiert ein Polynom n-ten Grades durch (x − x0) und liefert ein reduziertes Polynom vom Grad (n − 1).
- Voraussetzung: eine Nullstelle x0 muss bekannt sein (gegeben oder durch Ausprobieren ermittelt); der letzte Wert im Schema (Rest = 0) bestätigt dies.
- Vorteil gegenüber der Polynomdivision: systematischer, schneller — nur Koeffizienten nötig, keine vollständige Schreibweise der Terme.
- Typische Anwendung: Polynom 3. Grades auf Grad 2 reduzieren, dann Nullstellen des Restpolynoms mit der p-q-Formel bestimmen.
Selbsttest: Horner-Schema
Aufgabe: Horner-Schema anwenden
Gegeben ist das Polynom p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6 mit der bekannten Nullstelle x0 = 1.
a) Führen Sie das Horner-Schema durch und geben Sie das reduzierte Polynom an.
b) Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.
Probe: x0 = 1 ist Nullstelle?
p(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 ✓
a) Horner-Schema (Koeffizienten: 1 | −2 | −5 | 6):
| x0 = 1 | 1 | −2 | −5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| x0 × vorh. Wert: | + 1 | − 1 | − 6 | |
| Ergebnis | 1 | −1 | −6 | 0 (Rest ✓) |
Reduziertes Polynom: x2 − x − 6
b) p-q-Formel für x2 − x − 6 = 0 (p = −1, q = −6):
x = −p/2 ± √((p/2)2 − q) = 1/2 ± √(1/4 + 6) = 1/2 ± √(25/4) = 1/2 ± 5/2
x2 = 1/2 + 5/2 = 3 x3 = 1/2 − 5/2 = −2
Alle Nullstellen: x1 = −2, x2 = 1, x3 = 3
Probe: p(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0 ✓ p(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0 ✓