Horner-Schema

Beispiel: Horner-Schema

Das Polynom 3. Grades aus dem Beispiel zur Polynomdivision war:

$$x^3 - 3x^2 + 2x$$

Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die 2:

$$2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0$$

Man verwendet nur die Koeffizienten des Polynoms (die Zahlen, ohne x):

$$1 -3 + 2$$

(Hinweis: wenn das $x^3$ nicht mit dem Faktor 1 stehen würde, sondern zum Beispiel mit dem Faktor 2 (also $2x^3$), müsste man das Polynom zuerst durch den Faktor teilen.

Nun erstellt man ein reduziertes Polynom, das nur noch 2. Grades ist (also ohne ein $x^3$).

Dazu wird

• der erste Koeffizient 1 so übernommen;
• zum zweiten Koeffizienten -3 wird die bekannte Nullstelle addiert: -3 + 2 = -1
• zum dritten Koeffizienten 2 das 2-fache (wegen der Nullstelle 2) des Wertes (-1) – das ist der in der vorigen Zeile ermittelte Wert – addiert: $2 + 2 \cdot (-1) = 0$

Das reduzierte Polynom mit den Koeffizienten 1 und -1 lautet:

$$x^2 - x$$

Für dieses reduzierte Polynom 2. Grades lassen sich die Nullstellen leicht finden (zum Beispiel indem man x ausklammert und bei $x \cdot (x - 1)$ die Nullstellen unmittelbar erkennt oder mit der p-q-Formel); sie lauten 0 und 1 (siehe das Beispiel zur Polynomdivision).

Insgesamt hat das obige Polynom also 3 Nullstellen: 0 und 1 (mit dem Horner-Schema gefunden) und 2 (vorab bekannt).