Minimalkostenkombination

Beispiel

Produktions- und Kostenfunktion

Produktionsfunktion

Die Produktionsfunktion sei $x = s \cdot t$.

Dabei ist x die Outputmenge (zum Beispiel in Stück oder Liter), s der eine Einsatzfaktor (Arbeitszeit in Stunden) und t der zweite Einsatzfaktor (Maschinenzeit in Stunden).

So könnten beispielsweise mit 6 Arbeitsstunden und 1 Maschinenstunde $6 \cdot 1 = 6$ Outputeinheiten gefertigt werden.

Es gibt hier unzählige weitere Kombinationen, da s und t nicht unbedingt ganzzahlig sein müssen; es ginge also auch beispielsweise s = 2,4 Stunden (144 Minuten) und t = 2,5 Stunden (150 Minuten): x = 2,4 × 2,5 = 6.

Kostenfunktion

Eine Stunde Arbeitszeit kostet 2 €, eine Stunde Maschinenzeit kostet 3 €.

Die Kostenfunktion K ist dann:

K = 2s + 3t

Aufgabe

Es sollen 6 Outputeinheiten hergestellt werden.

Wie ist die Minimalkostenkombination, das heißt, mit welcher Kombination von Arbeits- und Maschinenstunden können die 6 Einheiten am günstigsten gefertigt werden?

Minimalkostenkombination berechnen

Um ein Minimum für die Kostenfunktion zu finden, muss sie abgeleitet und die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt werden. Die Kostenfunktion hat zwei Variablen (s und t), das muss auf eine reduziert werden.

Wenn $s \cdot t = 6$ sein soll, dann ist $t = \frac{6}{s}$.

Dies in die Kostenfunktion eingesetzt:

$$K = 2s + 3 \cdot \frac{6}{s} = 2s + \frac{18}{s} = 2s + 18s^{-1}$$.

Die 1. Ableitung der Kostenfunktion nach s gleich 0 setzen:

$$K' = 2 - 18s^{-2} = 2 - \frac{18}{s^2} = 0$$

$$\frac{18}{s^2} = 2$$

$$18 = 2s^2$$

$$s^2 = 9$$

s könnte jetzt rechnerisch -3 oder 3 sein. Eine negative Anzahl von Arbeitsstunden ist sinnlos, die praktikable Lösung für s ist deshalb nur 3.

t ist $\frac{6}{s} = 6/3 = 2$.

Ergebnis und Kontrolle

Mit s = 3 und t = 2 ergibt sich die erwünschte Menge: x = s × t = 3 × 2 = 6.

Die minimalen Kosten, um 6 Einheiten zu fertigen, sind $K = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12$ € mit 3 Arbeits- und 2 Maschinenstunden.

Es gibt also keine andere Kombination, mit der man 6 Einheiten günstiger herstellen könnte.

So würde die Kombination von s = 6 und t = 1 auch eine Menge von 6 × 1 = 6 Einheiten ergeben, die Kosten wären aber höher: $K = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 12 + 3 = 15$.

Bedingungen

Generell gilt:

• Die Minimalkostenkombination ist ein Punkt auf der Isoquante (Kombination aller Produktionsfaktoren, die denselben Output ergeben);
• Im Optimum entspricht die Steigung der Isoquante der Steigung der Isokostenlinie (Kombinationen von zwei Inputs mit denselben Gesamtkosten).