Newton-Verfahren
Newton-Verfahren Definition
Mit dem Newton-Verfahren können Nullstellen einer Funktion näherungsweise bestimmt werden (besser sind genaue Berechnungen, zum Beispiel mit der p-q-Formel oder abc-Formel, diese gehen aber nicht immer).
Voraussetzung für das Newton-Verfahren: Die Funktion ist differenzierbar, das heißt es existiert eine 1. Ableitung der Funktion.
Alternative Begriffe: Newton-Raphson-Methode, Newton-Raphson-Verfahren, Newtonsches Näherungsverfahren, Newtonverfahren.
Beispiel
Beispiel: Nullstellen näherungsweise mit dem Newton-Verfahren berechnen
Es sollen Nullstellen für folgende Funktion gefunden werden:
f(x) = x3 - x - 2
Wir begnügen uns mit einer Genauigkeit von 3 Nachkommastellen (das heißt, wenn man die gefundene Zahl einsetzt, kommt nicht genau 0 raus, aber nahe dran).
Das Newton-Verfahren ist ein Iterationsverfahren, hat also mehrere Durchläufe.
Benötigt wird die 1. Ableitung der Funktion und ein Startwert.
1. Ableitung
f '(x) = 3x2 - 1
Startwert
Man sucht den Bereich der Funktion, in dem das Vorzeichen (zum Beispiel von - auf +) wechselt. In diesem Bereich muss eine Nullstelle liegen.
Dafür setzt man probehalber ein paar Werte in die Funktion ein:
f(1) = 13 - 1 - 2 = -2.
f(2) = 23 - 2 - 2 = 4.
Das Vorzeichen wechselt also im Intervall 1 bis 2, als Startwert x0 wird die Mitte gewählt, das heißt 1,5.
Nun wird der erste Näherungswert berechnet:
$$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$
$$x_1 = 1,5 - \frac{1,5^3 - 1,5 - 2}{3 \cdot 1,5^2 - 1}$$
$$= 1,5 - \frac{-0,125}{5,75} = 1,52174$$
Analog der zweite Näherungswert:
$$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$$
$$= 1,52174 - \frac{1,52174^3 - 1,52174 - 2}{3 \cdot 1,52174^2 - 1}$$
$$= 1,52138$$
Jetzt stimmen die ersten 3 Nachkommastellen von x2 mit x1 überein, wir können deshalb bereits an dieser Stelle die Iteration abbrechen (da uns diese Genauigkeit reicht; sonst müsste man weitermachen, bis die gewünschte Zahl von zum Beispiel 5 oder 7 Nachkommastellen übereinstimmt).
Den Wert x = 1,521 in die Funktion eingesetzt:
f(1,521) = 1,5213 - 1,521 - 2 = -0,00226 (also sehr nahe an 0).