Newton-Verfahren

Newton-Verfahren Definition

Mit dem Newton-Verfahren können Nullstellen einer Funktion näherungsweise bestimmt werden (besser sind genaue Berechnungen, z.B. mit der p-q-Formel oder abc-Formel, diese gehen aber nicht immer).

Voraussetzung für das Newton-Verfahren: Die Funktion ist differenzierbar, d.h. es existiert eine 1. Ableitung der Funktion.

Alternative Begriffe: Newtonsches Näherungsverfahren, Newtonverfahren.

Beispiel

Beispiel: Nullstellen näherungsweise mit dem Newton-Verfahren berechnen

Es sollen Nullstellen für folgende Funktion gefunden werden:

f(x) = x3 - x - 2

Wir begnügen uns mit einer Genauigkeit von 3 Nachkommastellen (d.h., wenn man die gefundene Zahl einsetzt, kommt nicht genau 0 raus, aber nahe dran).

Das Newton-Verfahren ist ein Iterationsverfahren, hat also mehrere Durchläufe.

Benötigt wird die 1. Ableitung der Funktion und ein Startwert.

1. Ableitung

f '(x) = 3x2 - 1

Startwert

Man sucht den Bereich der Funktion, in dem das Vorzeichen (z.B. von - auf +) wechselt. In diesem Bereich muss eine Nullstelle liegen.

Dafür setzt man probehalber ein paar Werte in die Funktion ein:

f(1) = 13 - 1 - 2 = -2.

f(2) = 23 - 2 - 2 = 4.

Das Vorzeichen wechselt also im Intervall 1 bis 2, als Startwert x0 wird die Mitte gewählt, d.h. 1,5.

Nun wird der erste Näherungswert berechnet:

$$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

$$x_1 = 1,5 - \frac{1,5^3 - 1,5 - 2}{3 \cdot 1,5^2 - 1} = 1,5 - \frac{-0,125}{5,75} = 1,52174$$

Analog der zweite Näherungswert:

$$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$$

$$x_2 = 1,52174 - \frac{1,52174^3 - 1,52174 - 2}{3 \cdot 1,52174^2 - 1} = 1,52138$$

Jetzt stimmen die ersten 3 Nachkommastellen von x2 mit x1 überein, wird können deshalb bereits an dieser Stelle die Iteration abbrechen (da uns diese Genauigkeit reicht; sonst müsste man weitermachen, bis die gewünschte Zahl von z.B. 5 oder 7 Nachkommastellen übereinstimmt).

Den Wert x = 1,521 in die Funktion eingesetzt:

f(1,521) = 1,5213 - 1,521 - 2 = -0,00226 (also sehr nahe an 0).