Definition
Mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn man aus ihnen mit einer Linearkombination – mit Skalaren bzw. Faktoren, die nicht alle 0 sind – den Nullvektor bilden kann.
Ansonsten sind die Vektoren linear unabhängig.
Beispiel
Beispiel (für 2 Vektoren)
Zwei Vektoren seien $a = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$
Durch folgende Linearkombination kann man aus diesen Vektoren einen Nullvektor konstruieren:
$$a + 2 \cdot b = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Die beiden Vektoren a und b sind deshalb linear abhängig (der Skalar bzw. Faktor vor a ist 1, der Skalar vor b ist 2, es sind also nicht alle 0; wenn man alle Faktoren auf 0 setzt, ergibt sich natürlich immer der Nullvektor).
Lineare Abhängigkeit bedeutet auch: jeder (einzelne) Vektor lässt sich als Linearkombination des oder (bei 3 oder mehr Vektoren der) anderen Vektoren darstellen:
$$a = -2 \cdot b = -2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$$
$$b = -\frac{1}{2} \cdot a = -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Fazit
- Vektoren sind linear abhängig, wenn ihre nichttriviale Linearkombination den Nullvektor ergibt (nicht alle Faktoren dürfen 0 sein).
- Ansonsten sind sie linear unabhängig.
- Linear abhängig bedeutet: jeder der Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.
- Linear abhängige Vektoren bilden keine Basis des Vektorraums.
Selbsttest: Lineare Abhängigkeit
Aufgabe: Lineare Abhängigkeit prüfen
Gegeben sind:
$$a = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$
Prüfen Sie, ob a und b linear abhängig sind. Wenn ja: Finden Sie Skalare λ1, λ2 (nicht beide 0) mit λ1 · a + λ2 · b = 0.
Beobachtung: b = ⅓ · a (jede Komponente von b ist ⅓ von a) → a und b sind kollinear → linear abhängig.
Nichttriviale Linearkombination:
$$1 \cdot \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix} + (-3) \cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-3\\6-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} = \vec{0}$$
Mit λ1 = 1 und λ2 = −3 (nicht alle 0): a und b sind linear abhängig. ✓