Perzentil
Perzentil Definition
Perzentile teilen eine größensortierte Verteilung in 100 gleich große 1 % - Anteile auf.
Ein Perzentil bzw. der Prozentrang ist dann der Prozentsatz der Werte einer Verteilung, der <= einem bestimmten Wert ist.
Damit kann die Frage beantwortet werden: Wieviel Prozent sind kleiner, leichter, schlechter ... ? — oder die umgekehrte Frage: Wieviel Prozent sind größer, schwerer, besser ... ?
Beispiel für Interpretation
Von den 25 Schülern einer Klasse haben in einer Klausur jeweils 5 eine Note 1, 5 eine Note 2, 5 eine Note 3, 5 eine Note 4 und 5 eine Note 5 geschrieben.
Hat ein Schüler zum Beispiel die Note 2, weiß er noch nicht unbedingt, ob er wirklich gut abgeschnitten hat (vielleicht haben ja alle anderen die Note 1).
Sagt der Lehrer dem Schüler mit der Note 2 jedoch, dass er im 80 % - Perzentil liegt, weiß er, dass 80 % der Schüler eine Note 2 oder darunter ("schlechter") haben und nur 20 % darüber (eben die 5 Schüler, die eine Note 1 haben).
Das Perzentil kann also als ein Vergleichsmaßstab verwendet werden, um einen bestimmten Wert einordnen zu können.
Perzentile werden oft als Referenz verwendet, um abschätzen zu können, ob Werte im normalen / akzeptablen / unkritischen Bereich liegen.
So werden beispielsweise die Größe und das Gewicht von Kindern bei den regelmäßigen U-Untersuchungen gemessen und es wird geschaut, ob diese im jeweiligen Alter innerhalb der sogenannten Perzentilenkurven im Bereich vom 3. Perzentil bis 97. Perzentil (als äußerste Bandbreiten) liegen.
Beispiel
Beispiel: Perzentil berechnen
Von den 25 Schülern sind nur 10 in der bayerischen Oberstufe angekommen und erhalten Punkte statt Noten.
Die bereits aufsteigend sortierte Verteilung für eine Klausur sieht so aus:
| Schüler | Punkte |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 5 |
| 4 | 5 |
| 5 | 8 |
| 6 | 10 |
| 7 | 10 |
| 8 | 11 |
| 9 | 12 |
| 10 | 15 |
50. Perzentil berechnen
Nun soll das 50. Perzentil (das entspricht dem Median) berechnet werden:
Dazu wird das gesuchte Perzentil mit der Anzahl der Werte multipliziert: 0,5 × 10 = 5.
Dies ist ganzzahlig; deshalb wird der Mittelwert aus dem 5. und dem eins höher liegenden 6. Wert der sortierten Verteilung gebildet: 0,5 × (8 + 10) = 0,5 × 18 = 9.
Das 50. Perzentil ist also 9; die Hälfte der Schüler liegt unter dieser Punktzahl, die andere Hälfte darüber.
75. Perzentil berechnen
Berechnen wir noch das 75. Perzentil:
Das gesuchte Perzentil wird wieder mit der Anzahl der Werte multipliziert: 0,75 × 10 = 7,5.
Dies ist nicht ganzzahlig; deshalb wird die nächsthöhere ganze Zahl zu 7,5, also 8 in der sortierten Verteilung verwendet; der 8. Wert ist 11 Punkte.
Das 75. Perzentil ist also 11. Wenn man 11 Punkte hat, weiß man, dass nur maximal 25 % der Schüler besser sind.
Perzentile und Normalverteilung
In den obigen Beispielen muss das Perzentil individuell bestimmt werden (hängt von der Verteilung der Noten ab).
Viele Messwerte wie beispielsweise die Körpergröße unterliegen aber der Normalverteilung und in dem Fall können die Perzentile aus einer Tabelle für die Standardnormalverteilung abgelesen werden.
Spezielle Perzentile
Manche Perzentile werden standardmäßig als statistische Maßzahlen verwendet, so zum Beispiel