Sicherheitsäquivalent
Definition
Das Sicherheitsäquivalent ist der sichere Wert (den man garantiert bekommt), der für eine Person dem Wert einer Lotterie mit ungewissen Ausgängen gleichwertig (äquivalent) ist.
Damit sind nicht eigentliche Lotterien mit Losen oder Ähnliches gemeint, sondern ungewisse Ausgänge wie beispielsweise im Versicherungswesen oder auf dem Aktienmarkt.
Dieses Sicherheitsäquivalent ist individuell und hängt mit der Risikopräferenz des Individuums (risikoscheu, risikofreudig oder risikoneutral?) zusammen.
Alternative Begriffe: Certainty Equivalent.
Beispiel
Es wird eine Münze geworfen; kommt "Kopf", erhalten Sie 2 € geschenkt, kommt "Zahl", gehen Sie leer aus.
Abhängigkeit von der Risikopräferenz
Da beide gleich wahrscheinlich sind, ist der Erwartungswert dieser Lotterie / dieses Spiels 50 % × 0 € + 50 % × 2 € = 1 €.
Nun könnte man verschiedene Personen fragen, ob sie statt des Spiels lieber einen sicheren Betrag geschenkt haben wollen.
Manche Menschen würden vielleicht sagen, sie hätten lieber 80 Cent sicher (obwohl das weniger als der Erwartungswert ist). Dann wäre 80 Cent ihr Sicherheitsäquivalent.
Diese Menschen sind (wie die meisten) risikoavers (riskoscheu) und verlangen eine Risikoprämie dafür, dass sie sich der Unsicherheit, dem Zufall, dem Risiko aussetzen (auf dem Kapitalmarkt bedeutet das, sie verlangen eine höhere Rendite für das Risiko, das zum Beispiel eine Aktie gegenüber einer Anleihe hat).
Oder sie zahlen eine Prämie dafür, dass sie das Risiko eines ungewissen Ausgangs abgenommen bekommen (in Form von Versicherungsprämien).
Andere sind risikoneutral, ihnen ist es egal, ob sie 1 € sicher bekommen oder an der Lotterie teilnehmen, ihr Sicherheitsäquivalent ist 1 €.
Risikofreudige Spieler wären sogar bereit, an der Lotterie teilzunehmen, obwohl man ihnen vielleicht stattdessen 1,20 € "sicher" anbieten würde, ihr Sicherheitsäquivalent ist 1,20 €.
Sicherheitsäquivalent berechnen
Bei dem Beispiel sind wir unausgesprochen davon ausgegangen, dass der Nutzen gleich der Zahlung ist.
Sonst kann mit dem Erwartungsnutzen gearbeitet werden:
Eine Person habe die Nutzenfunktion u(x) = x2.
Das heißt, für x = 0 (Zahl) ist der Nutzen 0, für x = 2 (Kopf) ist der Nutzen 4.
Wie hoch ist das Sicherheitsäquivalent (SÄ)?
Das Sicherheitsäquivalent stiftet denselben Nutzen wie die Lotterie (hier: der Münzwurf).
Das bedeutet, der Nutzen aus dem Sicherheitsäquivalent muss dem Erwartungsnutzen der Lotterie (des Münzwurfs) entsprechen.
Als Formel:
u(SÄ) = E(u(l))
Dabei ist u(SÄ) der Nutzen aus dem Sicherheitsäquivalent, u(l) ist der Nutzen aus der Lotterie l und E(u(l)) der Erwartungswert des Nutzens aus der Lotterie.
Der Erwartungswert des Nutzens aus der Lotterie ist:
E(u(l)) = 50 % × 0 + 50 % × 4 = 2.
Um auf denselben Wert sicher zu kommen, müsste man gerundet 1,41 € (Wurzel aus 2) anbieten: das ergäbe einen Nutzen von u(1,41) = 1,412 = 2 (gerundet); das Sicherheitsäquivalent ist also 1,41 €.
Interpretation
Bietet man der Person 1,41 € sicher an, ist sie genau indifferent zwischen dem Sicherheitsäquivalent und der Lotterie, wenn sie risikoneutral ist.
Das heißt, ihr ist es egal, ob sie 1,41 € sicher bekommt (der Nutzen wäre 2) oder 0 € mit eine Wahrscheinlichkeit von 50 % (der Nutzen wäre 0) und 2 € mit eine Wahrscheinlichkeit von 50 % (der Nutzen wäre 4), der durchschnittliche Nutzen somit 2.
Bei einer risikoaversen Person mit einer anderen Nutzenfunktion wäre das Sicherheitsäquivalent < dem Erwartungswert der Lotterie.
Bei einer risikofreudigen Person mit einer anderen Nutzenfunktion wäre das Sicherheitsäquivalent > dem Erwartungswert der Lotterie.