z-Transformation

z-Transformation Definition

Durch eine z-Transformation bzw. Standardisierung von Merkmalen / Variablen werden diese in der Statistik in eine andere Form verwandelt, um sie vergleichbar zu machen.

Dazu subtrahiert man von jedem Messwert den arithmetischen Mittelwert, teilt die resultierende Differenz durch die Standardabweichung und erhält dadurch die sog. z-Werte (z-scores).

Als Formel (mit x für den jeweiligen Messwert, μ für den arithmetischen Mittelwert und σ für die Standardabweichung):

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Beispiel

Auf Basis der Beispieldaten zur Varianz: Bei der Familie mit 5 Kindern im Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren war der arithmetische Mittelwert 6, die Varianz war 16 und die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz war 4.

Führt man die o.g. Rechenschritte für jede Merkmalsausprägung / für jeden Meßwert durch, erhält man folgende z-Werte:

• (1 Jahr - 6 Jahre) / 4 Jahre = -5 Jahre /4 Jahre = - 5/4 (die Ergebnisse sind jetzt dimensionslos, die Jahre wurden herausgekürzt)
• (3 - 6) / 4 = -3/4
• (5 - 6) / 4 = -1/4
• (9 - 6) / 4 = 3/4
• (12 - 6) / 4 = 6/4

Der erste z-Wert -5/4 bedeutet z.B., dass das Alter des ersten Kindes (1 Jahr) um 5/4 Standardabweichungen, d.h. 5/4 × 4 Jahre = 5 Jahre unterhalb des arithmetischen Mittelwerts von 6 liegt; das Alter des fünften Kindes (12 Jahre) liegt um 6/4 Standardabweichungen, d.h. 6/4 × 4 Jahre = 6 Jahre oberhalb des Mittelwerts von 6 Jahren.

Würden z.B. für eine vergleichbare Altersanalyse für eine andere Familie die Alter in Monaten (statt Jahren) gemessen, hätte dies Einfluss auf die Höhe der Varianz und Standardabweichung, die Auswertungen wären nicht vergleichbar; mittels der z-Transformation können sie nun vergleichbar gemacht werden.

Nach der z-Transformation ist

• das arithmetische Mittel der transformierten Messreihe immer Null und
• die Varianz sowie die Standardabweichung sind immer 1.

Liegt eine Normalverteilung vor, können auf Basis der z-Werte entsprechende Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle für die Standardnormalverteilung abgelesen werden.