Definition
Mit der Cramerschen Regel können lineare Gleichungssysteme gelöst werden (dazu muss man allerdings Matrizen anwenden und mehrfach deren Determinanten berechnen; einfacher sind gegebenenfalls das Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren).
Alternative Begriffe: Cramers Regel, Determinantenverfahren, Regel von Cramer.
Beispiel
Beispiel: Cramersche Regel anwenden
Gleichungssystem (2 Gleichungen, 2 Variablen x und y):
x + y = 3
2x - 2y = -2
Zunächst werden die Zahlen, die auf der linken Seite der Gleichungen jeweils vor den Variablen x und y stehen, als Matrix (hier mit A bezeichnet) geschrieben und die beiden Werte auf der rechten Seite der Gleichungen als Vektor (hier mit b bezeichnet).
$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$
Anschließend wird die Determinante der Matrix A berechnet:
Die Determinante ist: det A = 1 × (-2) - 2 × 1 = -2 - 2 = - 4.
Zur Erinnerung: Um die Determinante einer 2 × 2-Matrix zu berechnen, multipliziert man die beiden Zahlen der links oben beginnenden absteigenden Diagonale (1 und -2) und zieht das Produkt der Zahlen der links unten beginnenden aufsteigenden Diagonalen (2 und 1) ab.
Um x zu berechnen, wird eine weitere Matrix gebildet (nennen wir sie X), mit dem Vektor b in der ersten Spalte und der zweiten Spalte der Matrix A in der zweiten Spalte; danach wird ihre Determinante berechnet und durch die Determinante von A geteilt:
Matrix: $$X = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$
Determinante: det X = 3 × (-2) - (-2) × 1 = -6 + 2 = - 4.
Determinante von X geteilt durch Determinante von A: -4/-4 = 1; x ist also 1.
Um y zu berechnen, wird analog eine weitere Matrix gebildet (nennen wir sie Y) , mit der ersten Spalte der Matrix A in der ersten Spalte und dem Vektor b in der zweiten Spalte; danach wird wieder ihre Determinante berechnet und durch die Determinante von A geteilt:
Matrix: $$Y = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$
Determinante: det Y = 1 × (-2) - 2 × 3 = -2 - 6 = - 8.
Determinante von Y geteilt durch Determinante von A: -8/-4 = 2; y ist also 2.
Kontrolle:
1 + 2 = 3
2 × 1 - 2 × 2 = 2 - 4 = -2
Fazit
- Die Cramersche Regel berechnet jede Variable xi als Quotient: xi = det(Ai)/det(A), wobei Ai aus A entsteht, indem die i-te Spalte durch den Vektor b ersetzt wird.
- Voraussetzung: det(A) ≠ 0 (das LGS hat genau eine Lösung).
- Das Verfahren ist übersichtlich bei 2 × 2-Systemen, aber aufwändiger als der Gauß-Algorithmus bei größeren Systemen.
- Alternative Bezeichnungen: Determinantenverfahren, Regel von Cramer.
Selbsttest: Cramersche Regel
Aufgabe: LGS mit Cramerscher Regel lösen
Gegeben ist das Gleichungssystem:
I: 3x + y = 7
II: x + 2y = 4
a) Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix A und den Vektor b sowie det(A).
b) Lösen Sie das LGS mit der Cramerschen Regel.
a) Matrix und Determinante:
$$A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix}$$
det(A) = 3 · 2 − 1 · 1 = 6 − 1 = 5
b) Cramersche Regel:
Matrix X (1. Spalte durch b ersetzen):
$$X = \begin{pmatrix}7 & 1 \\ 4 & 2\end{pmatrix}, \quad \det(X) = 7 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 10$$
$$x = \frac{\det(X)}{\det(A)} = \frac{10}{5} = 2$$
Matrix Y (2. Spalte durch b ersetzen):
$$Y = \begin{pmatrix}3 & 7 \\ 1 & 4\end{pmatrix}, \quad \det(Y) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 7 = 5$$
$$y = \frac{\det(Y)}{\det(A)} = \frac{5}{5} = 1$$
Ergebnis: x = 2, y = 1
Probe: I: 3 · 2 + 1 = 7 ✓ II: 2 + 2 · 1 = 4 ✓