Cramersche Regel

Cramersche Regel Definition

Mit der Cramerschen Regel können lineare Gleichungssysteme gelöst werden (dazu muss man allerdings Matrizen anwenden und mehrfach deren Determinanten berechnen; einfacher sind ggf. das Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren).

Alternative Begriffe: Determinantenverfahren, Regel von Cramer.

Beispiel

Beispiel Cramersche Regel

Gleichungssystem (2 Gleichungen, 2 Variablen x und y):

x + y = 3

2x - 2y = -2

Zunächst werden die Zahlen, die auf der linken Seite der Gleichungen jeweils vor den Variablen x und y stehen, als Matrix (hier mit A bezeichnet) geschrieben und die beiden Werte auf der rechten Seite der Gleichungen als Vektor (hier mit b bezeichnet).

$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Anschließend wird die Determinante der Matrix A berechnet:

Die Determinante ist: det A = 1 × (-2) - 2 × 1 = -2 - 2 = - 4.

Um x zu berechnen, wird eine weitere Matrix gebildet (nennen wir sie X), mit dem Vektor b in der ersten Spalte und der zweiten Spalte der Matrix A in der zweiten Spalte; danach wird ihre Determinante berechnet und durch die Determinante von A geteilt:

Matrix: $$X = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$

Determinante: det X = 3 × (-2) - (-2) × 1 = -6 + 2 = - 4.

Determinante von X geteilt durch Determinante von A: -4/-4 = 1; x ist also 1.

Um y zu berechnen, wird analog eine weitere Matrix gebildet (nennen wir sie Y) , mit der ersten Spalte der Matrix A in der ersten Spalte und dem Vektor b in der zweiten Spalte; danach wird wieder ihre Determinante berechnet und durch die Determinante von A geteilt:

Matrix: $$Y = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$

Determinante: det Y = 1 × (-2) - 2 × 3 = -2 - 6 = - 8.

Determinante von Y geteilt durch Determinante von A: -8/-4 = 2; y ist also 2.

Kontrolle:

1 + 2 = 3

2 × 1 - 2 × 2 = 2 - 4 = -2