Quadratische Ergänzung

Quadratische Ergänzung Definition

Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen oder um die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen herzustellen.

Dazu formt man den ursprünglichen Term so um, dass man die 1. oder 2. binomische Formel anwenden kann.

Beispiel

Die Gleichung $x^2 + x - 6 = 0$ (aus dem Beispiel zur p-q-Formel) soll mittels quadratischer Ergänzung gelöst werden (die Lösungen mit der p-q-Formel waren x₁ = 2 und x₂ = -3).

Wenn man den linken Term $x^2 + x - 6$ der linken Seite der 1. binomischen Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ gegenüberstellt, sieht man, dass

• man a = x setzen könnte,
• 2ab mit a = x und b = 0,5 "passen" würde $(2ab = 2 \cdot x \cdot 0,5 = x)$
• die -6 gar nicht passt, hier bräuchte man 0,25 (0,5²).

Man kann -6 aber auch als 0,25 - 6,25 schreiben:

$$x^2 + x + 0,25 - 6,25$$

Nun kann man die 1. binomische Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ anwenden und den Term umformen:

$$(x + 0,5)^2 - 6,25$$

In der Gleichung:

$$(x + 0,5)^2 - 6,25 = 0$$

$$(x + 0,5)^2 = 6,25$$

Der linke Term in der Klammer (x + 0,5) muss 2,5 oder -2,5 sein (2,5² = 6,25 und (-2,5)² = 6,25).

Wenn x = 2 ist, ist der linke Term in der Klammer 2,5, wenn x = - 3 ist, dann ist der linke Term in der Klammer -2,5. x₁ = 2 und x₂ = -3 sind somit die Lösungen.