Definition
Zeichnet man die Ableitungsfunktion, erhält man den Ableitungsgraphen (den Graph der 1. Ableitung).
Beispiel
Beispiel: Ableitungsgraph zeichnen
Die Funktion sei f(x) = 2x.
Dann ist die Ableitungsfunktion f'(x) = 2.
Der Ableitungsgraph dieser linearen Funktion, die eine konstante Steigung von 2 hat, ist eine waagrechte Gerade auf der Höhe y = 2.
In der Grafik sind Funktion und Ableitungsfunktion eingezeichnet:
Die Ableitungsfunktion f' gibt an jeder Stelle die Steigung (der Tangente) der Funktion f an und diese ist bei dieser einfachen Funktion eben überall 2.
Fazit
- Der Ableitungsgraph f'(x) zeigt an jeder Stelle die Steigung (Tangentensteigung) der Originalfunktion f(x)
- f'(x) > 0: f(x) steigt; f'(x) < 0: f(x) fällt; f'(x) = 0: Extremum oder Sattelpunkt
- Für f(x) = 2x (konstante Steigung): Ableitungsgraph ist eine waagrechte Gerade bei y = 2
- Aus dem Ableitungsgraphen lässt sich die Originalfunktion (bis auf eine Konstante) rekonstruieren
Selbsttest: Ableitungsgraph
Aufgabe: Ableitungsgraph analysieren
Gegeben ist f(x) = x2. Bestimmen Sie f'(x), beschreiben Sie den Ableitungsgraphen und geben Sie an, an welcher Stelle f'(x) = 0 ist.
f'(x) = 2x — der Ableitungsgraph ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung 2
f'(x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0: Das Minimum der Originalfunktion liegt bei x = 0
Für x < 0 ist f'(x) < 0 (Funktion fällt), für x > 0 ist f'(x) > 0 (Funktion steigt).